次の数列{Cn}の一般項Cnを求めよ 1,2,5,6,9,10,13... どのようにすれば解けます

次の数列{Cn}の一般項Cnを求めよ
1,2,5,6,9,10,13...

どのようにすれば解けますか？

No.1 回答者： tucky 回答日時： 2021/08/17 11:24

還暦過ぎの爺さんですがんが偶数と奇数で場合分けすればすぐわかると思うけどね。

No.2 回答者： cruelman 回答日時： 2021/08/17 12:12

b[n]=2+(-1)^n という数列を利用すれば漸化式が作れるのでそれを解けば答えは出るんじゃないの。

知らんけど。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/17 16:22

階差数列を

b(n)=c(n+1)-c(n)
とすると
c(1)=1
c(2)=2,b(1)=c(2)-c(1)=1
c(3)=5,b(2)=c(3)-c(2)=3
c(4)=6,b(3)=c(4)-c(3)=1
c(5)=9,b(4)=c(5)-c(4)=3
c(6)=10,b(5)=c(6)-c(5)=1
c(7)=13,b(6)=c(7)-c(6)=3
…
だから

b(n)=c(n+1)-c(n)=2+(-1)^n
だから
b(k)=c(k+1)-c(k)=2+(-1)^k
Σ_{k=1～n}b(k)=Σ_{k=1～n}{c(k+1)-c(k)}=Σ_{k=1～n}2+(-1)^k
=Σ_{k=1～n}c(k+1)-Σ_{k=1～n}c(k)
=Σ_{j=2～n+1}c(j)-Σ_{k=1～n}c(k)
=Σ_{k=2～n+1}c(k)-Σ_{k=1～n}c(k)
=
c(n+1)-c(1)=Σ_{k=1～n}{2+(-1)^k}

c(n+1)=c(1)+Σ_{k=1～n}{2+(-1)^k}

c(n)=c(1)+Σ_{k=1～n-1}{2+(-1)^k}
c(n)=1+Σ_{k=1～n-1}{2+(-1)^k}
c(n)=1+2(n-1)+Σ_{k=1～n-1}(-1)^k
c(n)=2n-1+Σ_{k=1～n-1}(-1)^k

n=2m-1の時c(n)=2n-1
n=2mの時c(n)=2n-2
∴
c(n)=2n-1-{1+(-1)^n}/2

No.4 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/08/17 19:41

数列{Cn}の階差数列を{Bn}、数列{Bn}の階差数列を{An}とします。

{Cn} 1,2,5,6,9,10,13...
{Bn} 1,3,1,3,1,3,…
{An} 2,(-2) ,2,(-2),…

An=2・(-1)^(n-1)

n≧2 のとき、
Bn=1+Σ[k:1→(n-1)] An
=1+Σ[k:1→(n-1)] 2・(-1)^(n-1)
=1+2 Σ[k:1→(n-1)] (-1)^(n-1)
=1+2 [1{1-(-1)^(n-1)}] /{1-(-1)}
＝1+1 - (-1)^(n-1)
=2 - (-1)^(n-1)
n=1 のときも成り立つ。

Bn=2 - (-1)^(n-1)

n≧2 のとき、
Cn=1+Σ[k:1→(n-1)] Bn
=1+Σ[k:1→(n-1)] {2 - (-1)^(n-1)}
=1+Σ[k:1→(n-1)] 2 - Σ[k:1→(n-1)] (-1)^(n-1)
=1+2(n-1) - [1{1-(-1)^(n-1)}] /{1-(-1)}
＝1+2n - 2 -1/2 + (-1)^(n-1)/2
=2n - 3/2 + (-1)^(n-1)/2
={4n - 3 + (-1)^(n-1)}/2
n=1 のときも成り立つ。

したがって、
Cn={4n - 3 + (-1)^(n-1)}/2