統計学に関して

2枚のコインに関して表が出る確率がどちらも同じであるかを調べる方法として適切と考えられる方法を、標本平均、検定、帰無仮説、対立仮説、推定という用語をそれぞれ必ず1回は使って具体的に説明しなさい。また、加えて適切であるとする理由も述べなさい。

それぞれの用語は把握しているのですが証明になると分からなくなるので解答の道筋を教えてもらえる方がおられましたらお願いします。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/06/03 23:54

「証明になると分からなくなる」ってのはどういうことでしょうか? 少なくとも, この問題自体は「証明」を求めてるわけじゃないでしょ?

No.2 回答者： kmee 回答日時： 2016/06/04 00:22

(1) 「2枚のコインに関して表が出る確率がどちらも同じであるかを調べる方法」 を、どの言葉を使うとかを考えずに、とにかく、書く。

(2) (1)の内容が、どの用語に該当するものは何かを考えて、結び付ける。
※ ここまでは、箇条書きとか図とかでよい。
(3) (1),(2)を文章として清書する。

「それぞれの用語は把握」しているなら、これでできると思います。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2016/06/04 09:03

私は企業でSQCを推進する部署に勤務する者で、博士の学位があります。

それぞれの用語はご理解されているということですので、
「同じである」との仮説を検定する方法についてキモになる部分をご説明します。

「同じである」との仮説を検定するには、「同等性の検定」という方法を使います。
通常の検定では「対立仮説が採択されれば、違いがある」と言えますが、
帰無仮説が採択されても「違いがあるとは言えない」程度しか言えず、
積極的に「同じである」とは言えません。
積極的に「同じである」と言うためには、
第二種の過誤βに危険率を設定して検定しなければなりません。
これが、「同じである」ことを説明する上で適切な方法です。

もうひとつ注意点があります。
コインの裏表は二項分布に従い、離散分布です。
すると、危険率を５％に設定すると、そのときの表の出る回数は
本来は2.7回というように整数ではないのに、式の上では3回という整数になり
正確な検定値と離散的な関数による推定値との比較ができません。
そこで、検定を行うために連続関数化を考えます。
最近のコンピュータを駆使する統計家は、
二項関数はベータ関数で置き換えますが（私もそうします）、
出題された先生は、そんな感じではないので、
正規分布への変換を想定していらっしゃると思います。

総観測数nと母確率pの積npが十分大きい
（とは言っても5~10以上）であれば、二項分布は直接
正規分布に近似できますが、そうでないときは、
各観測データxを経験ロジットに置き換えてロジット変換するか、
連続修正点を逆正弦変換して正規分布に近似します。
逆正弦変換のときの分散は、母確率pに依存しないので、
２つの母確率pの違いの検定を
２つの平均値の差の検定（母分散未知）に置き換えて適用するのに、
適切な方法と言えます。

なお、標本平均ですが、平均は期待値と同義ですが、
Aコインは10回のベルヌーイ試行中で表が観測されたのは4回
Bコインは10回のベルヌーイ試行中で表が観測されたのは8回
というときに、それらの回数（を変換したもの）は
（上記正規分布の）期待値に相当します。
しかし、それを標本平均というのは如何かと思います。
奇異に感じるのは私だけかもしれませんが・・・。

これは、QC検定１級レベルの知識です。
ちょうど前回のQC検定にも出題されましたが、
出題者も連続修正の意味がわかっていないのか、
経験ロジットのことを連続修正と書いてありました。
国家的な（国家試験ではありませんが）検定のくせに稚拙です。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2016/06/08 11:52

非常に詳しい方の回答があったので、その後は誰も投稿できなくなってしまいました。

でも、まだ解決しないようですね。

　下記リンク先に、似たような質問で侃々諤々の議論がなされているので、参考にされてはいかがでしょうか。
　「2枚のコインに関して表が出る確率がどちらも同じであるかを調べる方法」の裏返しの、コイントスの賭けで「イカサマ」と認定する方法に関しての議論です。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9300301.html

　おそらく、
・2枚のコインに関して表が出る確率がどちらも同じであるかを調べる方法　＝　「白」（無罪）であることを立証する
・コイントスの賭けで「イカサマ」と認定する　＝「黒」（有罪）であることを立証する
なのですが、いずれにせよ「グレー」であることしか言えないのが「統計学」なのだと思います。

　ただし、質問者さんのご質問は、「白である」とは言えなくとも「かなり白に近いグレーだ」「黒からはかなり遠いフレー」と言えればよいので、何とかなりそうですね。

　「イカサマ」の方は、「完全に黒」と断定できないと訴えられません。（某元TPP大臣や、都知事も、「黒」とは言えないので「違法性はない」とか「不起訴」にならざるを得ないのですが、国民・都民からは「相当に黒に近いグレーだ」ということで不信感を持たれているわけです。そもそもの「法」が、政治家自身が作るので抜け道だらけなのでしょうね。そういうところにこそ「法律の専門家」は苦言を呈すべきなのだと思います）
　「統計学」でいう「検定」では、「信頼度（有意水準）95%」とか「危険率5％」で判定しますが、有罪判定に「信頼度（有意水準）95%」では「5％の冤罪」の可能性があるので許容されませんよね。（リンク先の「イカサマ」論争に結論が出ないのは、そういうことなのでしょう）

　ということで、この質問に関しては、No.3さんのような理論的・学術的な回答はできませんが、浅学者の考えでは下記のような内容になるのではないでしょうか。

（１）2枚のコインに関して何回か試行して、2群のデータを採る。

（２）採った2群のデータから、各々の平均、標準偏差を求める。これが「標本平均」でしょう。
　試行回数を多くすればするほど、標準偏差を小さくすることができます。なお、No.3さんのとおり、「二項分布」の標本を「正規分布」とみなすには標本数の最低条件があるので、それを満たす必要があるでしょう。通常 np>5 と言われているようなので、p=1/2 のときには「11回以上」でしょうか。

（３）この2群のデータが、共通の母集団（＝2群全体の統合データ、あるいは理論的な母集団（表・裏の確率が1/2））から得られたものであるか、あるいは相互に独立なものであるかの検定を行う。
　この場合、通常は「2群のデータは共通の母集団からのものである」というのを「帰無仮説」（否定したい仮説）にして、これが否定されたら「共通の母集団から得られたデータではない（＝2群のデータは独立である）」（こちらが「対立仮説」＝立証したい「黒」）と結論付けるやり方でしょう。ただし「イカサマ」論争のとおり「2群の平均値には有意な差がある」「理論値（表・裏それぞれ1/2）から外れている」と結論付けるのは難しく、おおむね「2群のデータは独立であるとは言えない」（黒とは言えない）という結論になるのでしょうね。
（「帰無仮説」が否定できないからといって、「2群のデータは共通の母集団からのものである」「理論値（表・裏それぞれ1/2）に一致する」つまり「白である」とも断定できないのが、統計学の悲しいところです・・・）

　この場合、仮説として逆の「共通の母集団から得られたデータではない（＝2群のデータは独立である）」というのを帰無仮説にしたらよいような気がしますが、「何をもって違うというか」とか「平均が◎◎以上異なる」という定量的な判定条件が必要になって検定には向かないので、「平均値が等しい」という明確な判定条件で検定を行うのが普通です。
　この場合、2群のデータが各々「平均値±標準偏差」のどの辺にあるかで判定されることになります。

（４）あとは、「標本平均」とその「標準偏差」などから、2群のデータの「白さの度合い」を「推定」して、最終的な「2枚のコインに関して表が出る確率がどちらも同じであるかどうか」の結論を出すのでしょうね。
　白さの度合いも、2群のデータが各々「平均値±標準偏差」のどの辺にあるかで判定できますから。

　ご参考まで。