回帰曲線の有意差の検定

　統計学に関してはあまり知識が無いのですがよろしくお願いいたします。
　ある事象のデータをある条件により４つに分け、回帰曲線を引かせました。その４つの回帰曲線（データの塊）が、それぞれ有意差を持つものか、検定したいのですが、どのようにしたら良いのでしょうか。
　市販の統計解析ソフトがあるので、ある程度の解析はできると思うのですが、どういう解析をすればこの有意差を検定できるのかが分かりません。
　ご存知の方、お教えいただけませんでしょうか。
　よろしくお願いいたします。

No.4 ベストアンサー 回答者： jbg 回答日時： 2006/03/20 16:56

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対数をとることにどういう意味があるのでしょか


例えば、最も単純に傾きが１の直線
ｙ＝ｘ
が真の直線になるとしましょう。
ここで、極端な例として、
ｘ＝１のときに、２つのデータ
（１、　０．１）
と
（１、１．９）
があるとしましょう。
つまり、１の両側に等しく±０．９ずつ外れてる２つのデータです。

前者から得られる傾きは０．１です。
後者から得られる傾きは１．９です。
両者はｙ／ｘの真の値（＝１）の上下に全く同じ幅の誤差ですが、比率で言えば、２０倍近くの違いがあります。
（１、０．１）は、（１、１．９）よりも外れているデータとして扱わなければいけないはずです。
この不合理さは、ｙ／ｘの対数を取れば解消できます。


なお、
真の傾きに対する各データｙｋ／ｘｋが、あまり外れていなければ、一次近似と同じ考え方で、対数を取る必要はありません。ただし、その場合、外れ具合は、どんなに大きくても±１０％程度以内が限度です。

No.3 回答者： solla 回答日時： 2006/03/20 11:47

まず、2群（A群とB群とします）のデータを一緒にして、A群=0，B群=1となるような、群を識別するダミー変数を用意します。

そして“元の説明変数”とこの“ダミー変数”および“説明変数とダミー変数の交互作用”を入れて重回帰分析を行ってください（所謂「共分散分析」をしていることになります）。交互作用の入れ方は統計ソフトに依りますのでマニュアル等参照してください。
結果の“ダミー変数”の有意確率が切片の、“説明変数とダミー変数の交互作用”の有意確率が説明変数に関する回帰係数（傾き）の、それぞれA群とB群の間での有意差検定に相当します。

4群あるなら、これを4群の中で2群ずつ繰り返し、多重性をボンフェローニ法などで調整すればよいと思います。

No.2 回答者： jbg 回答日時： 2006/03/19 18:44

あ、そうですか。

じゃー、傾きだけですね。

前回の回答を見ればよいですよ。
もう1回解説しますか？

-----（再掲）
例えば、原点を通る一次関数に回帰した結果、２つの直線がそれぞれ
ｙ＝ａｘ
ｙ＝ｂｘ
という回帰直線になったとすれば、
データ（ｘ、ｙ）に対して、ｙ／ｘを「１個のデータ」としてみれば、そのデータの平均と標準偏差とを求めれば、傾きの有意差の検定が出来ます。
（ただ、傾きの検定に関しては、ｘとｙの比を取っているので、本来は、その対数、つまりｌｏｇ（ｙ／ｘ）を１個１個のデータとして、標準偏差を求めるのがよいのかも）
-----（再掲おわり）


まず、あるグループの全部のデータ（データ個数ｎ個）

（ｘ１、ｙ１）、（ｘ２、ｙ２）、（ｘ３、ｙ３）・・・・・
　　・・・・・（ｘn-1、ｙn-1）、（ｘｎ、ｙｎ）

について、全部、
ｌｏｇ（ｙk÷ｘk）
を計算してください。
ｌｏｇの底は何でもよいんですが、自然対数の底ｅとしましょうか。


説明しやすくするために
ｚｋ＝ｌｎ（ｙk÷ｘk）
って書かせてくださいね。
（ｌｎは、自然対数を表す記号です）


もうｚを計算しちゃったので、もう、ｘとｙのことは忘れてよいです。
つまり、
「ｚｋ」
を1個のデータとして見れば良いんです。

あとはご存知の通り
平均Ｚは、Ｚ＝｛Σ［ｋ＝１→ｎ］ｚｋ｝÷ｎ
分散Ｖは、Ｖ＝｛Σ［ｋ＝１→ｎ］（ｚｋ－Ｚ）^2｝÷（ｎ－１）
標準偏差σは、σ＝√Ｖ

なお、平均の傾きは、ｅのＺ乗です。


あとは、検定のやり方は、本とかソフトにあるでしょうから、それでやってください。（私は忘れました）

この回答への補足

何故、対数をとる必要があるのかよろしければお教えいただけませんでしょうか。
対数をとったものととらないもので検定をすると、対数をとったものの方がp値が低くなるのですが、対数をとることにどういう意味があるのでしょか。
初歩的なことで申し訳ございません。

補足日時：2006/03/20 09:41

この回答へのお礼

ありがとうございました、助かりました。

お礼日時：2006/03/20 08:29

No.1 回答者： jbg 回答日時： 2006/03/19 02:37

回帰「曲線」同士の有意差検定ですよね？

ご質問を拝見してから、ちょっと考えてみたんですが、
結論から言って、出来ません。

有意差検定というのは、ある危険率をあらかじめ定め、
・二者の分布が重なってしまう確率＜危険率
・二者の分布が重ならない確率＞１００％－危険率
であれば「有意差がある」と判定するものです。

例えば、一方の曲線が二次関数、他方の曲線が三次関数であれば、必ず、グラフのどこか（延長線も含む）に交点が出来てしまいます。



一次関数であれば、やろうと思えば、出来なくも無いです。

例えば、原点を通る一次関数に回帰した結果、２つの直線がそれぞれ
ｙ＝ａｘ
ｙ＝ｂｘ
という回帰直線になったとすれば、
データ（ｘ、ｙ）に対して、ｙ／ｘを「１個のデータ」としてみれば、そのデータの平均と標準偏差とを求めれば、傾きの有意差の検定が出来ます。
（ただ、傾きの検定に関しては、ｘとｙの比を取っているので、本来は、その対数、つまりｌｏｇ（ｙ／ｘ）を１個１個のデータとして、標準偏差を求めるのがよいのかも）



また、傾きをあらかじめ与えて、平行な直線として回帰をしたとき
ｙ＝ａｘ＋ｂ
ｙ＝ａｘ＋ｃ
の有意差は、
（ｘ、ｙ）と定数ａによって計算された「ｙ－ａｘ」を１個のデータとして扱えば、普通の有意差検定と同じになります。


さらに、
一次関数の一般形
ｙ＝ａｘ＋ｂ
ｙ＝ｃｘ＋ｄ
の有意差検定をするとなると、
傾きと切片の両方の検定を行なうことになってしまいますが、
まずは、両者を平行移動させて
ｙ＝ａｘ
ｙ＝ｃｘ
として、まず、傾きの検定（上記と同様）をするんでしょうかね。
それで有意差がなければ、両者の傾きは
√（ａｃ）
という等しい傾きとして、あとは、切片の検定ですか。
これは上記の
ｙ＝ａｘ＋ｂ
ｙ＝ａｘ＋ｃ
のときと同じことになりますね。

以上のことは、私がさっき考えて勝手に作った検定方法ですが、少なくとも、無茶苦茶な方法ではないとは思ってます・・・

（実は私自身も、二次関数データ同士、三次関数データ同士の有意差みたいなのを、仕事の必要上、無理矢理解析したことはあります。）

この回答へのお礼

ありがとうございます。
欲張って、回帰「曲線」と書きましたが、原点を通る一次関数の検定で十分です。
「平均と標準偏差とを求めれば、傾きの有意差の検定が出来ます。」とのことですが具体的にどうすれば良いのでしょうか。ｔ検定をすれば良いのでしょうか。
初歩的なことで申し訳ございませんが、お教えいただけると幸いです。
よろしくお願いいたします。

お礼日時：2006/03/19 07:43