log(n+9)-log(n+8)<1/100 のときのnの最小値を求めなさい というこの問題のプロ

log(n+9)-log(n+8)<1/100
のときのnの最小値を求めなさい
というこの問題のプロセスと解答を教えていただきたいです。

No.4 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/07/11 18:46

底が10の場合、

log(1+1/(n+8))<1/100
1+1/(n+8)<10^(1/100)

面倒なので電卓を叩くと
10^(1/100)=1.02329299
1/0.2329299=42.93

従ってn+8>42.93
n>34.93

故にn=35

No.3 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/07/11 18:21

log(1+1/(n+8))<1/100

1+1/(n+8)<e^(1/100)=1+1/100+1/20000+o(1/100^3)
20000/201<n+8
91.5<n

従ってn=92

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/07/07 12:40

対数には、まず「真数条件」というものがあります。

これを満たさないと、そもそも対数として定義できない。

この場合には、
　　n + 9 > 0
　　n + 8 > 0
ということです。つまり両方が成立する
　　n > -8
が条件です。

次に、「真数の掛け算は対数の足し算、真数の割り算は対数の引き算」ということです。
つまり
　　log(n + 9) - log(n + 8) = log[ (n + 9)/(n + 8) ] = log[ 1 + 1/(n + 8) ]

　　x = log[ 1 + 1/(n + 8) ]
とおけば、真数条件より n + 8 > 0 なので
　　1 + 1/(n + 8) > 1
つまり x > 0 です。ということで
　　0 < x < 1/100　　　(A)

log を「常用対数」（10を底とする対数）とすれば、(A)は
　　10^0 < 10^x < 10^(1/100)
対数の定義より
　　10^x = 1 + 1/(n + 8)
なので
　　1 < 1 + 1/(n + 8) < 10^(1/100)
　　0 < 1/(n + 8) < 10^(1/100) - 1
　　1/[ 10^(1/100) - 1] < n + 8
よって
　　1/[ 10^(1/100) - 1] - 8 < n　　　(B)

与えられた条件が等号の付いた
　　log(n+9) - log(n+8) ≦ 1/100
なら n の最小値は(B)が
　　1/[ 10^(1/100) - 1] - 8 ≦ n (B’)
となるので
　　n = 1/[ 10^(1/100) - 1] - 8 ≒ 34.93
とできますが、「不等号のみ」だと最小値は定まりません。「限りなく 1/[ 10^(1/100) - 1] - 8 に近い、これよりも大きい実数」ということです。

問題の内容を再確認してください。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/07/07 00:10

対数の引き算を真数にうつすだけ... なんだが, 対数の底がわからんと答えられんぞ.

わかったからといって答えられるとも限らんが.