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tan 1°は有理数か。京大の2006年の有名な問題です。

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  • 質問者：kyapppu
  • 質問日時：
  • 回答数：2件

京都大学の2006年の有名な

tan 1°は有理数か。


という問題です。


下記が模範解答なんですが、解説していただきたいです。
ㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

tan 1°が有理数であると仮定する。

tan 1°＝m/n (m, n:整数)と書け、z＝n+miとおくとargz=1°

これよりargz^60＝60°なので、√3＝tan60°=Rez^60/Imz^60であるが、

右辺は分子分母ともに整数であるから有理数となり矛盾．

つまりtan 1°は有理数ではない。



なんでRez^60/Imz^60が有理数になると言えるのかが分からないです。

理由を教えていただきたいです。

質問者からの補足コメント

  • tanの加法定理を使った証明は見て理解できたんですが


    こんな証明法もあるのかと思い、質問をしました。


    この証明法に大変興味があります。

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/08/19 14:51
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この質問への回答は締め切られました。

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A 回答 (2件)

No.2ベストアンサー

  • 回答者： Tacosan
  • 回答日時：

あぁ, 2項定理を使って z^60 を計算しろってことか.



本質的には tan の加法定理を使うのと何ら変わらんのだけど.
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

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お礼日時：2016/08/19 20:12

No.1

  • 回答者： Tacosan
  • 回答日時：

tan の加法定理はわかりますか?

この回答への補足あり
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