ドップラー効果の公式導出(到達時刻の差から求める)

音源の出す音の振動数f0,音速V,音源と観測者の距離l
(✳︎音源と観測者は一直線上にある。)
時刻0に音源を出た音が観測者に到達する時刻t1,時刻tに音源を出た音が観測者に到達する時刻t2とする。
・音源が観測者の方へ速さで近づき、観測者は静止している。
・音源は静止しており、観測者は速さuで音源から遠ざかる。
・音源はvで観測者方向に移動し、観測者はuで音源から遠ざかる方向に移動する。

条件のもと上記の3つの場合について
1.)t1=
2.)t2=
3,)f=
の流れから観測者の聞く振動数fの導出方法をご教授ください。

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/09/30 12:33

No.2&3です。

すみません、No.2の補足を読む前にNo.3を書いてしましました。

＞違う導出方法として問題に「到達時刻の差」から導出するというものがありましたので質問させていただきました。

基本的な考え方は、No.3に書いた
（１）「静止した空気」にどんな波ができるか（これは音源の運動で決まる）
（２）それを観測者がどう受け取るか（これは観測者の運動で決まる）
でよいと思います。

「到達時刻の差」というのは、結局は「波長」から「振動数」を求めるときの「音速」を「距離/時間」で求めるときに、距離を基準にするか時間を基準にするか、ということだと思います。

「公式」を機械的にあてはめるのではなく、上記のような「空気の振動」に立ち返って考えれば、整理できるのではないかと思います。

No.6 回答者： keechan4 回答日時： 2016/10/02 15:31

分類のし方や文字の使い方を変えるとすっきりなります。

まず速度は空気という媒質を基準として表します。
時間は発音時間ｔと受音時間ｔ'を使います。(原文対応：ｔ'=ｔ₂-ｔ₁)

音源側のはなし
空気と音源が静止していれば、音波の長さ＝Vｔ
どちらも静止していないなら、音波の長さ＝Ｕｔ
ここで、Ｕは、音源から見た音波の速さです。
（原文対応：場合2ではＵ=Ｖ-0,場合1,3ではＵ=Ｖ-u）

受音側のはなし
空気と受音者が静止していれば、音波の長さ＝Vｔ'
どちらも静止していないときは、音波の長さ＝Ｕ'ｔ'
ここで、Ｕ'は、受音者から見た音波の速さで、
（原文対応：場合1ではＵ'=Ｖ-0,場合2,3ではＵ'=Ｖ-u'）

上の２つの段落は、音源と受音者が入れ替わっているだけです。
原理が同じものであることをが理解できます。
（原文対応の方は複雑に違います。このことが、頭脳に負担を与えます。）

さて、音波の長さは変わりませんから、Ｕｔ＝Ｕ'ｔ'---(4)
となります。
比で表すと ｔ／ｔ'＝Ｕ'／Ｕ---(5)
音源が発した波の数ｆｔと受音者が受けた波の数ｆ'ｔ'は等しく、
ｆｔ＝ｆ'ｔ'ですから、ｔ／ｔ'＝ｆ'／ｆとなります。
これを(5)に使えば
ｆ'／ｆ＝Ｕ'／Ｕ---(6)
こうして、３つの場合のどれにもあてはまる式ができました。

各場合に対応してみましょう。
場合１：ｆ'／ｆ＝Ｕ'／Ｕ＝（Ｖ-0）／（Ｖ-u）
場合２：ｆ'／ｆ＝Ｕ'／Ｕ＝（Ｖ-u'）／（Ｖ-0）
場合３：ｆ'／ｆ＝Ｕ'／Ｕ＝（Ｖ-u'）／（Ｖ-u）

(6)式は正しく使えば、風が吹いていても成り立ちます。
その際、uとu'は空気に対する相対速度です。
(6)式自体も覚える必要はなく、
「ドップラーの振動数は相対速度に比例する」
とだけ覚えとけばいいと思います。

この回答へのお礼

回答いただきありがとうございます。
比という考え方を取り入れ少しスッキリしました。

お礼日時：2016/10/05 12:27

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2016/09/30 14:56

No.4です。

言葉で言っているだけでは分かりづらいので、具体的にやってみましょう。

振動数だけを求めたいのであれば、t1、t2 は何も関係しないこととが分かります。


＞時刻0に音源を出た音が観測者に到達する時刻t1,時刻tに音源を出た音が観測者に到達する時刻t2とする。

音源も観測者も静止していれば、音速は一定なので
　　t1 - 0 = t2 - t 　　　①
の関係です。

（１）音源が観測者の方へ速さで近づき、観測者は静止している。

　観測者は「空気」に対して静止していますので、「発信した場所」と「受信した場所」だけで現象を記述できます。音源が「時刻tに音を出した」あとどのように動くかは、この場合問題にはなりません。

　音源の速度を v とすれば、時刻tまでに v*t だけ近づいているので、音速を c とすれば、
　(時刻 0 のときの音源と観測者の距離）＝（時刻 t のときの音源と観測者の距離）+（時刻 t までに音源が進んだ距離）
ということですから

　　(t1 - 0)*c = (t2 - t)*c + v*t

という関係式になります。（v=0 なら①に一致します）

　これより
　　t1 = [ (t2 - t)*c + v*t ] / c
　　　= t2 - (1 - v/c)*t
　　t2 = t1 + (1 - v/c)*t

　音源の発する振動数を f0 とすると、観測者の方向へは「1秒間に、 (c - v ) の距離に f0 個の波) 」が伝わるので、その波長は
　　λ1 = (c - v) / f0
静止した空気（音速 c ）の振動数 f1 としては
　　f1 = c/λ1 = [ c/(c - v) ]*f0
となります。


（２）音源は静止しており、観測者は速さuで音源から遠ざかる。

　観測者が「空気」に対して移動していますので、「空気に対して音が発信された場所」に対して、「発信された時点にいた場所から受信するまでにどれだけ移動したか」を補正しないといけません。音源が「時刻tに音を出した」あと、観測者がどう動いたかを求める必要があります。

　音源は静止しているので、空気中の音については
　　音速 c、振動数 f0、波長 λ2=c/f0
ということです。

　観測者の速度を u とすれば、音源が音を発したときにいたとこらから、時刻Δtの間に音源から u*Δt だけ遠ざかります。従って、

　(時刻 0 のときの音源と観測者の距離）+（時刻 0～ t1 の間に観測者が進んだ距離）＝（時刻 0～ t の間に音が進んだ距離）
　(時刻 t のときの音源と観測者の距離）+（時刻 t～ t2 の間に観測者が進んだ距離）＝（時刻 t～ t2 の間に音が進んだ距離）

ということですから(時刻 0 のときの音源と観測者の距離）を L1 とすると

　　L1 + u*(t1 - 0) = c*(t1 - 0)
　　→　L1 + u*t1 = c*t1　　　　　②
　　(L1 + u*t) + u*(t2 - t) = c*(t2 - t)
　　→L1 + u*t2 = c*(t2 - t)　　　③

という関係式になります。（u=0 なら①に一致します）

　これより、未知数 L1 を消去するために ③ - ② とすると
　　u(t2 - t1) = c*(t2 - t - t1)
整理して
　　(c - u)*t1 = (c - u)*t2 - c*t
よって
　　t1 = t2 - [ c/(c - u) ]*t
　　t2 = t1 + [ c/(c - u) ]*t

　この場合には、空気中を音の波長＝音源の発する波長は λ2=c/f0 であり、観測者の「音」に対する相対速度は (c - u) であるから、その振動数は
　　f2 = (c - u ) / λ2
　　　 = (c - u ) / (c/f0)
　　　 = [ (c - u ) / c ]*f0
となります。


（３）音源はvで観測者方向に移動し、観測者はuで音源から遠ざかる方向に移動する。

　上記（１）（２）をミックスすればよいです。
　つまり

・空気中に、
　　波長：λ1 = f0 / (c - v)
　　振動数：f1 = c/λ1 = [ c/(c - v) ]*f0
で放出された音に対して、

・空気に対する相対速度 (c - u) の観測者が受信する。

ということです。

　従って、その振動数は、t1、t2 とは関係なく
　　f3 = (c - u ) / λ1
　　　 = (c - u ) / [ (c - v) / f0 ]
　　　 = [ (c - u ) / (c - v) ]*f0
となります。

　t1、t2 はけっこう面倒ですが、考え方は（２）と同じで、

　(時刻 0 のときの音源と観測者の距離）+（時刻 0～ t1 の間に観測者が進んだ距離）＝（時刻 0～ t の間に音が進んだ距離）
　(時刻 t のときの音源と観測者の距離）+（時刻 t～ t2 の間に観測者が進んだ距離）＝（時刻 t～ t2 の間に音が進んだ距離）

このうち「時刻 t のときの音源と観測者の距離」が「v と u の両方に関係」することになります。つまり

　　L1 + u*(t1 - 0) = c*(t1 - 0)
　　→　L1 + u*t1 = c*t1　　　　　　　　④
　　(L1 - v*t + u*t) + u*(t2 - t) = c*(t2 - t)
　　→L1 - v*t + u*t2 = c*(t2 - t)　　　⑤

　これより、未知数 L1 を消去するために ⑤ - ④ とすると
　　u(t2 - t1) - v*t = c*(t2 - t - t1)
整理して
　　(c - u)*t1 = (c - u)*t2 - (c - v)*t
よって
　　t1 = t2 - [ (c - v)/(c - u) ]*t
　　t2 = t1 + [ (c - v)/(c - u) ]*t

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2016/09/30 12:25

No.2です。

「考え方」でもう一言。

振動媒体の「空気」の上にできるのは、「波の山谷」で、これは「ある波長の波が並んでいる」ということです。
これが「空気中の音速」で進んでいく。

つまり、そこに存在する「実体」は、空気中にマッピングされた「波の形」＝「波長」です。
これが、どのように音源から放出されたか、観測者がどのように受け取るかで、「1秒間の波の数」つまり「振動数」が決まります。

「静止した空気」にどんな波ができるか（これは音源の運動で決まる）、それを観測者がどう受け取るか（これは観測者の運動で決まる）、という2段階で考えましょう。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/09/30 12:05

ドップラー効果は、「空気」の振動である「音」について、それが「音源」「観測者」が振動媒体の「空気」に対してどう運動しているか、によって決まります。

「公式」という考えから出発すると本質が理解できなくなります。
下記のサイトが分かりやすいので、頭の整理にお使いください。
http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/wave/dopp/dopp …
http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/wave/dopp/dopp …
http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/wave/dopp/dopp …

考え方としては
(a)音源が運動するときには、「音速」は一定だが音源と基準点の「距離」が変わる、つまり波長が変わる。空気中には、この波長で決まる振動数の音が伝わります。
(b)観測者が運動するときには、「空気」に対して運動する、つまり音源からの「波長」は一定だが「観測者にとっての相対的な音速が変わる」。

これでやってみてください。
１）は(a)、２）は(b)、３）は両方、ということです。「プラスマイナス」の符号に注意して。

この回答へのお礼

回答いただきありがとうございます。
載せていただいたサイトは全て拝見済みでして...。
そのサイトは相対速度、観測者にはいる振動数を考えて導出していることは理解しているつもりでございます。
違う導出方法として問題に「到達時刻の差」から導出するというものがありましたので質問させていただきました。

お礼日時：2016/09/30 12:14

No.1 回答者： tantanmm 回答日時： 2016/09/30 11:43

音源と観測者の距離L(lだと見づらいので大文字にします)

・音源が速さvで近づき、観測者は静止
1.)t1= L/V
2.)t2= t+(L-vt)/V
3,)
時間0からtまでの間に音源が出す波の数は f×t
その波が 時間t1からt2まで に届いている
周波数(1秒あたりの波の数) は [波の数]/[時間]
f=(ft)/(t2-t1)
=(ft)/(t+(L-vt)/V- L/V)
=(ftV)/(tV+(L-vt)- L)
=(ftV)/(tV-vt)
=(fV)/(V-v)

残りの，観測者が動く場合，音源と観測者両方動く場合 も同様に．

この回答へのお礼

回答いただきありがとうございます。
残りの
・観測者が動く
・音源と観測者が動く
の2つの場合が同様に考えていくと行き詰まってしまったので質問させていただいたのですがもう一度やってみます。

お礼日時：2016/09/30 12:10