数列入試問題

(1)は出来たんですけど(2)の途中からつまずきました。誰かアドバイスいただければと思います。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/10/20 11:11

(2) のどこでつまずいたんだろうか.

No.2 回答者： Witschie 回答日時： 2016/10/20 17:07

（２）帰納法でやればいいと思いますが、ほかに

ｘ＝α、βについて成り立つ方程式を作るのもありかな？
　　　ｘ　　　　　＝（１±√５）／２
　　２ｘ　　　　　＝　１±√５
　　２ｘ－１　　　＝　　±√５
　（２ｘ－１）＾２＝　　　５
４ｘ＾２ー４ｘ＋１＝　　　５
　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　・

No.3 回答者： Witschie 回答日時： 2016/10/20 18:23

α＾（ｎ＋２）＝α＾（ｎ＋１）＋α＾ｎ

　　　　　　－）β＾（ｎ＋２）＝β＾（ｎ＋１）＋β＾ｎ
─────────────────────────────────────
α＾（ｎ＋２）－β＾（ｎ＋２）＝α＾（ｎ＋１）－β＾（ｎ＋１）＋α＾ｎ－β＾ｎ

No.4 回答者： Witschie 回答日時： 2016/10/20 18:43

ａ１＋ａ２＋…＋ａ［ｋ］　　　　　　　＝　　　　　　　ａ［ｋ＋２］－１

ａ１＋ａ２＋…＋ａ［ｋ］＋ａ［ｋ＋１］＝ａ［ｋ＋１］＋ａ［ｋ＋２］－１
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～～～～～～～～～～～～

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2016/10/20 19:10

（2）α^(n+2)=α²α^n、α^(n+1)=αα^n、より、式の前半が成立つためには

　α²＝α＋1、α²―α―1＝0が成り立てばよい。また同様に後半が成立つためには
　β²―β―1＝0が成り立てばよい。つまりα、βが方程式ｘ²―ｘ―1＝0の解であればよいが
　定義より、α＋β＝1、αβ＝―1で、α、βは解と係数の関係からこの方程式の解なので証明終わります。

（3）（2）で証明した前半の式から後半の式を辺々ひけば
　ａ(n+2)=ａ(n+1)+ａ(n) がすぐ出ます。

（4）（3）の結果を使って数学的帰納法で証明します。

（5）は、またあとで、

No.6 回答者： syotao 回答日時： 2016/10/20 22:07

（5）　ｎ≧3とします。

　　　ｎ段の階段の上がり方の数をｂ(n)とすれば、最初１段目を上がってｎ段目まで上る場合と
　　　最初2段目から上がってｎ段目まで上る場合に分けられます。そして前の上り方の数は
　　　残りのｎ―1段を条件の方法で上る上り方の総数だから　ｂ(n―1)、そして後の上り方は
　　　残りのｎ―2段を同じ条件で上る仕方の総数だから　ｂ(n―2)
　　　したがって　ｂ(n)＝ｂ(n―1)＋ｂ(n―2)　という漸化式がでます。

　　さて、ｂ(1)は1段しかない階段を条件の上り方で上る仕方だから1に等しい。
　　また、ｂ(2)は２段しかない階段を条件の上り方で上る仕方だから1段ずつ上る方法と
　　２段１度に上る方法の２つだから2に等しい。そして
　　ｂ(1)＝ａ(2)、ｂ(2)＝ａ(3)、ｎ≧3以降は上に出したｂ(n)の漸化式と（3）で出したａ(n)の
　　漸化式とから、ｂ(n)＝ａ(ｎ＋1)がでます。結局(n＝1、2の場合も含めて)ｂ(n)＝ａ(ｎ＋1)
　　が成立ち（正式にはやはり数学的帰納法を使う）、
　　したがって、ｂ(n)＝{α^(n+1)―β^(n+1)}/√5　です。