（命題） 三角形の内角のうち少なくとも一つは60°以上である。 を背理法を用いて解け

（命題）
三角形の内角のうち少なくとも一つは60°以上である。

を背理法を用いて解け







という問題が出たのですが、これを解説付きでわかりやすく教えていただけないでしょうか。
数学に関してはまだまだ未熟なので暖かい目で見ていただければ幸いです…

No.1 回答者： 梶尾くん 回答日時： 2016/11/09 19:23

三角形の内角の和は180°である。

このうち、すべての角は60°以下とすると、合計が180°に満たない。
すなわち、少なくとも一角は60°以上である。

です。

No.2 回答者： むらさめ 回答日時： 2016/11/09 19:25

まず背理法を理解すること。

この場合、
（命題） 三角形の内角のうち少なくとも一つは60°以上である。
というのがあります。

逆の(誤った命題)を仮定してその矛盾から（命題）が正しいことを証明する。

(誤った命題)として、
三角形の内角はすべて60°以下である。

ということを仮定する。
それが過ちであることを証明して（命題）が正しいということを証明する方法が背理法になります。

三角形の内角はすべて60°以下とした場合、
三角形の内角の和は180°であることを矛盾するので、(誤った命題)は間違っていて、
（命題）は背理法で正しいことになります。

No.3 回答者： 通りすがりのエンジニア 回答日時： 2016/11/09 21:35

背理法を用いるとのことなので、まず、命題を否定した仮説を立てます。

今回の問題の場合
内角が「全て60°未満」である三角形があるとする。
と、いう風に命題を否定した仮説を立てます。
仮説が正しかった場合、その三角形の内角の和は
60°未満+60°未満+60°未満=180°未満
となり、「三角形の内角の和は180°である」という定理に反します。
よって、「全ての内角が60°未満」の三角形は存在しないと言えます。
つまり、命題である「三角形の内角のうち少なくとも一つは60°以上」である必要がある為、命題は正しいと言える。