対角化可能になるようにaの値を求める。 |λE-A|に固有値λを代入して固有ベクトルを出す過程でa

対角化可能になるようにaの値を求める。

|λE-A|に固有値λを代入して固有ベクトルを出す過程でaを求めようとしたんですが出来ませんでした。よかったら解説含め答えを教えてもらえると嬉しいです。お願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/11/12 02:43

「Aの行列式の固有多項式」というのは変だが, 「A の固有多項式」と思っていいかな?

もしそうなら, 最小多項式が (全ての固有値を単根で持つ) (λ+2)(λ-2)(λ-1)(λ+1) であれば対角化可能だし, その条件は (A+E)(A-E)(A-2E)(A+2E)=O となる... んだけど, もともと固有多項式が重根を持たないんだから当然に対角化可能だよね.

この回答へのお礼

あ、すみません！Ａの固有多項式です！！

なるほど！！とても分かりやすかったです！ありがとうごさいます！！

お礼日時：2016/11/12 02:49

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/11/12 00:05

「となればいい」というのは, 「どのような条件のために」そうなればいい, といっているのでしょうか? そして, A とその多項式と

の間にはどのような関係があるのでしょうか?

この回答へのお礼

あ、すみません分かりづらかったかもです…
写真とは全く別のあるAの行列式の固有多項式が(λ+2)(λ-2)(λ-1)(λ+1)の場合ってことです…

お礼日時：2016/11/12 00:11

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/11/11 16:32

A が対角化可能であることと A の最小多項式が単根のみを持つこととは同値で, A の固有多項式は FA(λ) = (λ+1)^2(λ-1)^2 ということから A の最小多項式が (λ+1)(λ-1) であればいい. つまり (E および O をそれぞれ 4次の単位行列および零行列として)

(A+E)(A-E) = O
となればよく, したがって a = -2. 対角化した結果は自明なので省略.

この回答へのお礼

すみません…
多項式がもし
(λ+2)(λ-2)(λ-1)(λ+1)
だとしたら、
(A+E)(A-E)(A-2E)(A+2E)=O
となればいい。みたいな感じになるってことですか？？

お礼日時：2016/11/11 23:17