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分散について
Σの意味を知らなかったので検索したところΣの下にk=1、上に4、右にakとあった場合、akのkに1~4まで代入してそれぞれを足すと書いてありました。


そこで今解いている
「5つのデータ{3,2,7,7,6}の分散を求める」という問題でσ^2=1/5Σ(下にi=1、上に5、左に(xi-xの平均値)^2という公式も同じようにするのかと思いきや、iに代入するのは5つのデータの値でした。

上で私が検索した結果の例と今回の問題とでは何が違うんでしょうか?

質問者からの補足コメント

  • 公式の説明にもσ^2が分散、データ数がn、個々のデータの値がxi、その平均値がxの上に横棒書いたやつと確かに書かれているので、分からなくもないんですがでは、Σの下のi=1と上の5は何を意味してるのでしょう?5つのデータを1~5までということですか?
    そうすると仮にデータが5つあってもΣの上に3とあったらデータの値を代入するのは3つまでとかいうこともあるのでしょうか?またそうだとすると{3,2,7,7,6}の3つまでとは右から3つということですか?

      補足日時:2016/12/06 12:46

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A 回答 (7件)

>>例えば今回の問題にしても結局xiに与えられたデータを順に当てはめれば済む話なのに、なぜわざわざ下にi=1上に5と書いて「1番目から5番目まで」なんてやるのかがわからなくて…



気持ちは解ります。
が、文章でネチネチ書かれるより、その文章内容を式をつかって表現して呉れる方が、解釈が一意になって逆にスッキリ解り易いです。

慣れの問題です。一番重要なのが定義(約束毎)ですかね~。
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この回答へのお礼

お二方、お付き合い頂いてありがとうございましたm(__)m

お礼日時:2016/12/06 17:35

zom16様


数学表記上の約束毎なんですから、そう覚えるしか無いですよ。
色々追求しても仕方有りません。

大きな文字ならで変数で
Σai(1=1,100)=a1+a2+a3+・・・・・a100の意味でa=1の場合は1+2+2+・・・・100=55
a=2なら、2+4+6+・・・・200の意味です。

小さな添え字なら何番目かを表すので
Σa¡(1=1,100)=1番目の値+2番目の値+・・・100番目の値
ですよ。
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この回答へのお礼

なるほど…
もともとこういう気質(公式だから、そう決まっているからというのを受け入れられずにネチネチ考えた挙げ句、数学が嫌いになりました)なので式の定義や意味とかが自分なりに納得できないと問題を解くモチベーションが湧かないんですよね。

例えば今回の問題にしても結局xiに与えられたデータを順に当てはめれば済む話なのに、なぜわざわざ下にi=1上に5と書いて「1番目から5番目まで」なんてやるのかがわからなくて…
5つあるけど3つだけとかいう場合があるならまだ存在する意味も分かるんですけど結局、与えられたデータは全部使いきるようですし、それなら別に「何番目から何番目まで」何て定義しなくても自動的にそうやって計算するよ!と思ってしまいました。
もしかすると、こういった表記の仕方をするのはコンピューターが認識できるように丁寧に宣言するという用途があるのですかね?
私にとってはその丁寧さが逆に分かりづらいんですけどね。

お礼日時:2016/12/06 17:23

>>5つあるデータのうち3つだけという使い方もあり得るのでしょうか?



添え字で何番目という使い方をする場合は、全体を代表してx¡と表現する訳ですから、あり得ません。

100個データが有ったら、100個使います。
x₁、x₂、・・・・x₁₀₀ を指す場合はx¡(i=1,100)と言う表現です。
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「Σ(下にi=1、上に5、左に(xi-xの平均値)^2」の場合には「(xi-xの平均値)^2 の 『i に』 1~5 まで代入して

す」です. 「(xi-xの平均値)^2 の 『xi に』 1~5 まで代入してそれぞれを足す」わけではないですよ.
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この回答へのお礼

なるほど!するとこの場合iに1を代入すると(x1-xの平均値)^2となるのですか?そうなるとx1の部分はどういう意味なのでしょう?
x・1ということでもなさそうですし…
また1~5を代入した後の手順はどうなるのでしょう?

お礼日時:2016/12/06 15:28

なにも違いません.



「Σの下にk=1、上に4、右にakとあった」場合には「akのkに1~4まで代入してそれぞれを足す」だし, 「Σ(下にi=1、上に5、左に(xi-xの平均値)^2」の場合には「(xi-xの平均値)^2 の i に 1~5 まで代入してそれぞれを足す」です. 「iに代入するのは5つのデータの値でした」は, 単純にあなたが勘違いをしているだけ. 「i に」それぞれのデータを代入しているわけではないです.
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この回答へのお礼

すみません。回答の欄には{(3-5)^2+(2-5)^2+(7-5)^2+(7-5)^2+(6-5)^2}÷5とあり(xi-xの平均値)^2のiの位置に5つのデータの値{3,2,7,7,6}がそれぞれ代入されているので誤解していました。

ではおっしゃられた通りに計算すると、{(1-5)^2+(2-5)^2+(3-5)^2+(4-5)^2+(5-5)^2}÷5
=(16+9+4+1+0)÷5
=30/5=6となりますか?
もしそうだとするとこちらに書いてある4.4という解とは結果が異なるのですが、どこが違うのでしょうか?

お礼日時:2016/12/06 15:09

No.1続き


Σ(i=1,k)の意味は2通りあります。
iを小さな添え字で無くて、大きく書いてある場合。
iは変数として扱います。
Σ(i=1,k)aiと書かれていた場合は変数iに順番に1~4を代入しながら足すという意味なのでa1+a2+a3+a4を表します。
この場合のiは添え字の小さいiでは無くて、変数のiなので大きく書きます。

もう1個の意味は、iは変数では無くて、データのi番目を表わす場合に使います。
この場合はiを小さくかいてx¡のように添え字として書きます。
Σ(i=1,k)x¡
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この回答へのお礼

添え字の小さいiでデータのi番目を表すという場合、この問題では1~5番目まで全て使うことになるようですが、5つあるデータのうち3つだけという使い方もあり得るのでしょうか?

お礼日時:2016/12/06 15:14

5つのデータ{3,2,7,7,6}のΣはi=1~5です。


xiの意味は
x₁=5 x₂=2 x₃=7 x₄=7 x₅=6 と言う事を表しています。
なので
Σxi(i=1~5) = 3+2+7+7+6 を表します。

σは標準偏差でσ=√分散 
上の例の分散は 分散=1/5Σ(xi - xの平均)²

xの平均は(3+2+7+7+6)/5=5

分散=1/5Σ(xi - xの平均)² =
(1/5){ (3-5)² + (2-5)² + (7-5)² + (7-5)² + (6-5)²}
(1/5){ 4 +9+ 4+ 4 +1)=
(1/5)(22)=4.4
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こんにちは。

Σの意味は「合計」です。英語で言えば、「sum」です。
そして、Σは「シグマ」と読むギリシャ文字(σの大文字)で、英語のアルファベットの「S」(sの大文字)に相当します。
ですから、頭文字としてΣが使われます。

蛇足ですが、積分の記号の「∫」も、やはり、sum と同語源です。
積分は、数列の和みたいなものですからね(なぜか、インテグラルと読みますが)。


さて、
Σ の下に、k=★ と書き、Σ の上に ☆ と書き、右に、「なんちゃらk」と書いたとき、
★をスタート、☆をゴールとして、
「★番目のなんちゃら」から「☆番目のなんちゃら」までを全部足しなさい、
ということを意味します。

たとえば、ある家族の年齢が、
1人目 35歳
2人目 45歳
3人目 13歳
4人目 65歳
5人目 18歳
であるとき、
a1=35
a2=45
a3=13
a4=65
a5=18
という書き方ができます。

すると、年齢の合計は、
5
Σ ak = 35+45+13+65+18
k=1
と書くことができます。

以上が、意味の説明になります。


∞の記号がつく例というのは、たぶん、これのことですか。
http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/infGeoProgres/

簡単な例ですと


Σ 1/2^k = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16
k=1

n
Σ 1/2^k = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ・・・ + 1/2^n
k=1


Σ 1/2^k = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ・・・ = 1
k=1

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ですから、頭文字としてΣが使われます。

蛇足ですが、積分の記号の「∫」も、やはり、sum と同語源です。
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参考URLをご覧ください。

参考URL:http://www.ifinance.ne.jp/learn/tax/txv_7.htm


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