地球全体の持つ重力エネルギーについて

質量Ｍ、距離ｒの物体から受ける重力加速度は
ＧＭ／ｒ^2
（Ｇは重力定数）

これをｒで積分すれば重力ポテンシャルになります。

∫ＧＭ／ｒ^2 ｄｒ　＝　－ＧＭ／ｒ　＋　Const.

無限遠点を基準、すなわち、
無限遠点での重力ポテンシャルをゼロとすれば、
ｒ→∞　のとき、－ＧＭ／ｒ→０　なので、Const.→０
よって、

重力ポテンシャル　＝　－ＧＭ／ｒ

です。これは、質量あたりの位置エネルギー（ポテンシャルエネルギー）です。

ここから更に地球全体の持つ重力エネルギーを計算するにはどうしたら良いでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 

  ご回答有難う御座います。
  
  ＞重力は「引力」なので、「無限遠点での重力ポテンシャルをゼロとすれば」という仮定が間違っています。引力の場合には、無限遠が「最大値」になりますから。
  
  「高校物理　運動と力79　万有引力と位置エネルギー」　家庭教師のトライ　動画　を見ますと、宇宙の果てを”０”にすると言ってます。
  
  言われる通り、1/r r→０にすると無限大になります。無限大の困難ですね。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/12/25 15:49

• 

  質問と関係ないのですが、下記の動画を最初見たとき、「この先生、真面目で、ちょっと怖そう。」ってイメージがありました。
  
  【高校物理】　電磁気64　導体棒の起電力、ローレンツ力による証明　（１６分）
  
  でも、
  
  【高校物理】　運動と力01　速さと速度　（１６分）
  
  を見て、イメージが一変しました。徳川家康には驚きました。「おちゃめです。」
  
  どの動画を見ても、すごく解りやすいです。

    補足日時：2016/12/25 16:09

• 

  ご回答有難う御座います。
  
  >「地球」自体がエネルギーを持つのではなく、地球の質量の作る「重力場」がポテンシャルで、そこに持ってきた質量がエネルギーを持つのです。
  >なので、「地球全体の持つ重力エネルギー」ということには意味がないのではありませんか？
  
  下記HPの球対称性の
  
  2/3*Pi*G*p*(r^2 - R^2)
  
  の式を、積分して、r=Rを代入すれば
  
  -4/9*Pi*G*p*(R^3)
  
  になります。これがエネルギーになるのではないでしょうか？
  
  
  https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8D%E5%8A%9B …

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/12/25 19:10

• 

  やっぱり間違っていました。撤回します。

    補足日時：2016/12/25 19:13

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/12/24 23:28

＞これは、質量あたりの位置エネルギー（ポテンシャルエネルギー）です。

はい。M が地球の質量ですよね。

つまり重力ポテンシャルが
　　Φ(r) = GM/r
ということですよね？

地球中心から R の距離に質量 m の物体を持って来たときに、その物体の持つポテンシャルエネルギーが
　　Ep(R) = Φ(R)*m = GMm/R
になります。

「地球」自体がエネルギーを持つのではなく、地球の質量の作る「重力場」がポテンシャルで、そこに持ってきた質量がエネルギーを持つのです。
なので、「地球全体の持つ重力エネルギー」ということには意味がないのではありませんか？

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/12/25 12:00

No.1です。

すみません、酔っ払っていて、ウソを書いていましたね。

＞地球中心から R の距離に質量 m の物体を持って来たときに、その物体の持つポテンシャルエネルギーが
＞　　Ep(R) = Φ(R)*m = GMm/R
＞になります。

は間違いです。これは「中央に正電荷を置いて、そこに正電荷を近づける」という「排斥力」の場合の「無限遠からそこまで、排斥力に逆らって正電荷を持って来る」ときの話であって、重力のような「引力」の場合とは違いますね。

　重力は「引力」なので、「無限遠点での重力ポテンシャルをゼロとすれば」という仮定が間違っています。引力の場合には、無限遠が「最大値」になりますから。

　中心からのある距離 (=R0) を基準にして、そこから「引力」に逆らって R (>R0) まで引き離す仕事が「ポテンシャルエネルギー」になります。つまり、質量 m の物体のポテンシャルエネルギーは
　　Ep(R) = ∫[R0→R][GMm/r²]dr
　　　　　= [ -GMm/r ][R0→R]
　　　　　= -GMm/R + GMm/R0
　　　　　= GMm( 1/R0 - 1/R )
　　　　　= [ (R - R0)/R0*R ]*GMm
ということです。
　「単位質量」に対する R=R0 を基準にした「ポテンシャル」は
　　Φ(R) = Ep(R) /m = [ (R - R0)/R0*R ]*GM
となります。

　R = R0 + h で　h << R0 の場合には、
　　Ep(R) = [ h/R0*(R0 + h) ]*GMm ≒ h*GMm/R0²
なので、GM/R0² = g と書けば
　　Ep(R) = mgh
というおなじみの式になります。

　ここで、基準点の R0 をゼロにすると重力の大きさが「無限大」になってしまうので、R0 近傍は「特異点」として除外しないといけません。まあ「ブラックホール」のようなものです。

　実際の地球では、地球表面の内部では重力の大きさは「1/r²」には従いませんので、基準の R0 として「地球の半径」とするのが普通です。

　いずれにせよ、これもNo.1に書いた通り
＞「地球」自体がエネルギーを持つのではなく、地球の質量の作る「重力場」がポテンシャルで、そこに持ってきた質量がエネルギーを持つのです。
ということには変わりはありません。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2016/12/25 12:14

No.2です。

No.2に書いた

＞実際の地球では、地球表面の内部では重力の大きさは「1/r²」には従いません

は、地球の質量が「地球の中心１点に集中しているわけではない」「地球の体積全体に質量が分布している」ことによります。
詳しくは、こんな質問＆回答などを参照ください。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/2941092.html

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/12/25 16:33

No.2です。

＞「高校物理　運動と力79　万有引力と位置エネルギー」　家庭教師のトライ　動画　を見ますと、宇宙の果てを”０”にすると言ってます。

確かに「間違っています」とまで言うのは「言い過ぎ」かもしれませんね。「基準点をどこにとるか」の話なので。

No.2の式で分かるとおり、R=R0 を基準にした「ポテンシャル」を
　　Φ(R) = Ep(R) /m = [ 1/R0 - 1/R ]*GM　　　①
と書けば、基準位置 R=R0 でのポテンシャルは
　　Φ(R0) = [ 1/R0 - 1/R0 ]*GM = 0
になります。あくまで「R=R0 を基準にした」ということです。

①では、R → ∞ にすれば
　　Φ(∞) = GM/R0
です。これだとゼロにはなりません。

「どこをゼロにするか」という「相対的」な話ですから、無限遠をゼロにするには
　　Φ'(R) = Φ(R) - GM/R0 = -GM/R
とすればよいのです。でもこれだと「地球に近づけば近づくほど、負のポテンシャルエネルギーの絶対値が大きくなる」ということになるので、常識的には理解しにくいですね。

①式であれば、ポテンシャルエネルギーは「基準位置 R0 でゼロで、R (>R0) が大きくなるほど大きくなる」という「Ep = mgh」の感覚に近くはありませんか？

　物理では「実際に起こっている現象を正しく想像する」ことが大事なので、No.2のように考える方が「分かりやすい」かなと思った次第です。