連続して当たりくじを引ける回数の平均の出し方

タイトルの通り、連続して当たりくじを引ける回数の平均の出し方についてですが、
ネットで調べた所、ハズレ確率が1/n なら、平均はn回になるとの事でした。
（例：ハズレ確率が1/4なら、連続して当たりを引ける回数の平均は4回となるそうです）

しかしこれだと、結論だけなので今一つピンと来ません。（また、2/7とかだったらどうなるのか？といった場合に対応できない）
自分でも確率の入門書などを見てみたのですが、そこには「一度引いたくじは、元には戻さない」タイプの問題しか載っていませんでした。僕が知りたいのは、”連続でくじを引きますが、あたりを引いたら、そのくじはもとに戻してまた引くタイプ（はずれを引くまで、平均で何回連続できるか？）の問題です。

もしハズレ確率が1/2なら、平均連続回数は2回かもしれないのですが、
図にしてみると、当たり0回で終了が1/2（50％）
当たり1回で終了が、1/4（←2回目でアウトの場合です）
当たり2回で終了（3回目で失敗した場合）が、1/8
3回連続成功が、1/16
4回連続成功が、1/32　・・・以下、このようにずっと続くようです。

ハズレ確率が何分の一でも、簡単に計算できる数式ってありますか？（※理想は、2/7とかでも対応できるやつ。無理なら、1/n だけでも可）

なお、数式だけ書かれても意味が分からないので、できれば考え方の過程と共に、中学生レベルでも理解できるような説明（もしくは、分かりやすく書いてあるサイトの紹介）を、お願いいたしますｍ（＿＿）ｍ

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/12/25 10:18

>Σ[i=0→∞]i・{(n-1)/n}^n・(1/n) = n-1

タイポ
Σ[i=0→∞]i・{(n-1)/n}^i・(1/n) = n-1
申し訳ない。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/12/25 00:53

n=1で0回となるはずですので、誤りでしょうね。

Σ[i=0→∞]i・{(n-1)/n}^n・(1/n) = n-1

No.1 回答者： Nukogi20161207 回答日時： 2016/12/25 00:00

＞ネットで調べた所、ハズレ確率が1/n なら、平均はn回になるとの事でした。

ここまではいいですけど、

＞僕が知りたいのは、”連続でくじを引きますが、あたりを引いたら、そのくじはもとに戻してまた引くタイプ（はずれを引＞くまで、平均で何回連続できるか？）の問題です。
ここで、思わず、は？って言いたくなりました。
ネットで調べた問題を検証したいんじゃないんですか？
とりあえず、ネットで調べた問題とあなたが知りたい問題の違いが分からないのです。
ネットで調べたと書いてありますが、そこには導出仮定が書いてなかったんですか？
私たち回答者にも分かるように『この問題が知りたい』とストレートに言って欲しいです。
そしてネットで調べたなら、なぜそのＵＲＬを貼らなかったのか理解に苦しみます。