確率についての質問

三角くじを５枚作ったとします。
この三角くじを引くのは１人だけ、とします。
この５枚の内、１枚だけはアタリ。残りは全てハズレです。
５枚はいずれも外見上でも重さ等でも、全く区別がつかず、
開封しないとアタリ・ハズレはわからないものとします。

このとき、アタリを引く確率は１／５
・・・と答えるのが、確か受験でも正解だったと思います。
しかし、ここで質問です。

この確率って、立場によって違うのではないか？
即ち、場合分けが必要で、

ア）くじを引く人から見た場合
くじの中には「アタリかハズレしか存在しない」のだから、
アタリを引く確率は、１／２。

イ）くじを作った人から見た場合
アタリを引かれる（＝当てられる）確率は、１／５。

・・・とまぁ、こういう考えを思いついたのですが、
これはどこが間違ってるのでしょうか？

もうかなり前に受験で確率・統計を勉強したのですが、すっかり
忘れてしまいました。

No.2 ベストアンサー 回答者： proto 回答日時： 2009/02/09 18:17

くじを引く側から見てアタリを引く割合とハズレを引く割合が同様に確からしいならば、アタリの確率は1/2になります。

しかし、もしくじを引く側が箱の中身を全く知らないのであれば、箱の中のアタリの割合とハズレの割合が等しいと考える根拠はないので、アタリの確率が1/2であると結論づけることはできません。

「アタリかハズレしか存在しない」という言葉の意味は、(確率はともかく)くじを引いた場合起こりうる事象は"当たる"か"外れる"かであり、それ以外の事象は起こりえない、という意味です。
しかしこれだけでは、アタリとハズレの割合が同様に確からしいとは言えないのです。

少し想像してみてください、くじを引く側が箱の中身を知らず、しかもただ一度しかくじを引くことを許されていないのであれば、それだけでアタリの確率を推定することは無理でしょう。
引いたくじを箱に戻し再び引くという試行を充分に多く行っていいのであれば、大数の法則よりアタリの確率を推定することが出来ます。
全試行回数に対するアタリの回数の割合の極限がアタリを引く確率です。

今回、(ア)の推論で間違った部分は、アタリの確率を推定するのに充分な情報を与えられていないにもかかわらず、アタリの確率を1/2と結論づけたことではないでしょうか。

この回答への補足

回答、ありがとうございます。

＞「アタリかハズレしか存在しない」という言葉の意味は、(確率はともかく)くじを引いた場合起こりうる事象は"当たる"か"外れる"かであり、それ以外の事象は起こりえない、という意味です。

この部分はよくわかります。

＞しかしこれだけでは、アタリとハズレの割合が同様に確からしいとは言えないのです。
＞もしくじを引く側が箱の中身を全く知らないのであれば、箱の中のアタリの割合とハズレの割合が等しいと考える根拠はないので、アタリの確率が1/2であると結論づけることはできません。

引用の順序が逆になりましたが、この辺がわかりません。

ただの私の直感ですが、今のところあなた様の回答が、一番的確なような気がしています。
ただ、納得できてないというか、すっきりしないというか・・・

すみません。

補足日時：2009/02/10 09:03

No.11 回答者： i7010_man 回答日時： 2009/02/11 02:22

こんばんは。

もうすでに理解されているような気がしますが・・・
　『同様に確からしい』の意味がわかるかどうか、だと思います。
・当たりorはずれの2通り
　これは間違っていません。
・2通りのうち、当たる確率は2分の１
　この時点でおかしくなります。

『場合の数』を考える場合、「何種類か」を考えれば良いので、
当たる場合orはずれる場合　の2通りです。
　しかし確率を考える場合は、それぞれの「出やすさ」を考慮に入れる必要があります。
　当たりの出やすさ　と　はずれの出やすさ　が同じ場合、確率は2分の１です。例えば
　当たり5枚、はずれ5枚のくじ
これなら、当たる確率は10分の5、つまり2分の1です。

　しかし質問者様の話では、明らかに　はずれの方が出やすい　ですね。はずれ枚数の方が多いのですから、これは当然です。
　表面上は　当たる場合orはずれる場合　の2通りですが、
　『出やすさ』まで考慮に入れると、はずれる場合にもさらに場合分けが必要です。
　当たる場合⇒当たり1枚を選ぶので1通り
　外れる場合⇒はずれ4枚から1枚選ぶので4通り
　　つまり、合計5通り。　よって当たる確率は5分の1。

　質問者様の言われる
・当たる場合orはずれる場合　の2通りある　とは、
・当たる場合orはずれる場合　の2パターンある、または
・当たる場合orはずれる場合　の2種類ある、という意味です。
　確率では、その種類やパターンをさらに分類しなければなりません。

この回答への補足

回答、ありがとうございます。

＞・当たりorはずれの2通り
　これは間違っていません。
・2通りのうち、当たる確率は2分の１
　この時点でおかしくなります。

他の方もおっしゃってましたが、丁寧に解説してくださって
ありがとうございます。

＞『場合の数』を考える場合、「何種類か」を考えれば良いので、
当たる場合orはずれる場合　の2通りです。
　しかし確率を考える場合は、それぞれの「出やすさ」を考慮に入れる必要があります。

結局この辺を、私は混同してるのですね。
だからあんなおかしな話になったのですね。

「出やすさ」を無視してるから、あんな変な話になってる。
まぁ、前に皆さんが指摘してくださってるのですが、
「やっとわかったんかい！」
とお叱り受けそうです。

補足日時：2009/02/12 09:04

No.10 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/02/10 23:04

←No.3 補足

＞ 違います。私の言ってることが仮に正しいなら、
＞ １等が当たる確率は、くじを買う立場で１／２、です。
＞ １等かそれ以外か、ですから。

そうすると、貴方の「クジを買う立場」では、
１等が当たる確率が１／２、２等が当たる確率も１／２
ということですね？
ハズレを引く確率は、どこへいったのでしょう？
それとも、１等、２等、…、ハズレ、確率の合計は１より
大きいということでしょうか。この点だけ考えても、
「１等が当たる確率は、くじを買う立場で１／２」という
考えが、荒唐無稽であることは分かりますね。

＞ どこがおかしいのか・間違ってるのか、をお聞きしたわけです。

「１等が当たる確率は、くじを買う立場で１／２」と考えた
ことが、間違っていた訳です。
どこをどう間違えたから、そのような結論になったのかについては、
貴方が、

＞ ア）くじを引く人から見た場合
＞ くじの中には「アタリかハズレしか存在しない」のだから、
＞ アタリを引く確率は、１／２。

の部分に、ナゼ、「アタリかハズレしか存在しない」と
アタリを引く確率が１／２になるのか？ の根拠を書いていない
以上、貴方以外の人には分かりようもありません。

アドバイスとして言えるのは、その部分に考察の脈絡が無い
ということだけです。どこからともなく唐突に、間違った考えが
登場しているので、ナゼ間違ったのかは、指摘できません。

補足要求：「１／２」は、どこから出てきた値ですか？

この回答への補足

補足要求する次元の問題でもないように思います。
補足要求する前に、他の方の回答とそれに対する私の返事を
よく読んで、少し常識を使って、考えてみて下さい。

補足日時：2009/02/12 09:03

No.9 回答者： pochy1 回答日時： 2009/02/10 15:20

立場の場合分けというと、

　ウ）くじを引いて外れた人…当たりを引く確率は０％
　エ）くじを引いて当たった人…当たりを引く確率は１００％
というのもあります。

難病が１００万人に１人の確率でしか起きないとしても、難病になってしまった人の立場では「起きてしまったこと」でしかなく、起きる確率は関係ないという場合に出てくる理論です。

この回答への補足

回答、ありがとうございます。

あなた様の回答は、皆様と少し雰囲気が違って、
でも１番さんの回答に近いような気がします。
なんというか、哲学的というか・・・。

確率にも、哲学的側面と数学的側面とあるようで、
それもまた面白いですね。
勉強になりました。

補足日時：2009/02/12 08:58

No.8 回答者： happisno 回答日時： 2009/02/10 15:16

あの・・・

話の腰を折るようで申し訳ないのですが，質問者様の理論ならば，イ）の場合も，
・アタリを引かれる
・アタリを引かれない
の２通りなのですから，確率は１／２になるのではないですか？

でも，実際はそうはなりませんよね？

確率というのは，そもそも「ある試行（ここでは１回くじを引く）を何回も繰り返したときに，ある結果（ここではアタリを引く）が起こる割合」です。

質問者様のおっしゃているのは，アタリとハズレという「結果」が２通りあるということだと思います。
そして，それがイコール「確率」というわけではありません。
確率は不変のものですから，どちらの立場であろうと変わることはありません。

ただ，ボクは質問者様の考え方はおもしろいと思います。
たしかに，くじを引く側から見たら，アタリかハズレかの２通りですよね。
そういうことを考えたことがなかったので，勉強になりました。
ありがとうございました☆

この回答への補足

回答、ありがとうございます。

そうですよね、イ）のくじを引かれる側から見ても、
アタリかハズレの１／２か？ってことになりますよね。

結果の種類だけで、１／２と考えてることが間違いなのですね。
ありがとうございました。

補足日時：2009/02/12 08:54

No.7 回答者： yaemon_2006 回答日時： 2009/02/10 12:33

　

>この客のケースでは、アタリもハズレも各々何枚ずつかわからない。
>だからやっぱり１／２、でいいのですかね？

　それは、引く人は、"確率が1/5であることがわからない"だけ。
　

この回答への補足

たびたびありがとうございます。

なんだかよくわからなくなってきました。

＞引く人は、"確率が1/5であることがわからない"だけ。
ですが、アタリかハズレしかないことはわかってるわけですよね？

「起こりうる事象の数だけでなく、その事象各々の発生率も考慮しないといけない」
と解釈し始めたところでしたが、
その事象各々の発生率が不明な場合はどうなるの？とか、
よくわからなくなってきました。

アタリハズレ各々何枚ずつ入ってるかはくじの作成者しかわからない。
くじを引く人はその情報を知らない。
という場合、くじを引く人から見たアタリの確率は・・・不明？？

すみません、よくわからなくなってきました。
ご指摘の意図はなんとなくわかるような気がするのですが。

補足日時：2009/02/10 14:05

No.6 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2009/02/10 10:23

これが賭け事の心理的なトリックです。

もし、サイコロを振って１の目が出たら２００円もらえてそれ以外は１００円払うという賭け事があったとします。
当たれば２００円の儲けで外れても１００円の損ということです。
見た目には得しそうに見えますよね？
でも、実際の期待値は
１／６Ｘ２００－５／６Ｘ１００＝－５０
なので、やる度に胴元は平均で５０円ずつ儲かる仕組です。

出てくる結果は２通りでもその発生率が違うので、確率とは発生率を意味します。

更に例えをすれば、
ある投手の投げる球をイチローがヒットするのと、質問者さんがヒットする確率は同じでしょうか？
どちらもヒットか凡打しかないとすれば、どちらも１／２でヒットできることになりますが、どう考えてもイチローの方がヒットを打つ確率が高いようには思わないでしょうか？

この回答への補足

回答、ありがとうございます。

＞出てくる結果は２通りでもその発生率が違うので、

この辺にヒントがありそうに思えます。
このことは２番の方と４番の方も指摘されてましたね。

私が書いた例題では情報不足で、例えば
「くじを引く人は、アタリハズレ各々何枚かを知らない。」
との記述があれば、１／２・・・？
くじを引く人が、くじ５枚中アタリは１枚、ということを「知っている」のなら、
アタリを引く確率は１／５。


そもそもこのことを考えたのは、客に、誤魔化す傾向の強い方がいて、その方は
「～しても（税務署に）ばれないよね？」
などと、よく言うのです。
その都度
「そんなことしてもばれます。やめてください」
とは言ってきたのですが、ここで、
「税務署から見たらあなたを選ぶ確率は何百万分の一。
でも、あなたから見たら、
（税務署から調査対象に）【選ばれる】か【選ばれない】か
の二つに一つ、ですよ」
と説得できないか、と考えたのがきっかけです。
この客のケースでは、アタリもハズレも各々何枚ずつかわからない。
だからやっぱり１／２、でいいのですかね？

補足日時：2009/02/10 11:24

No.5 回答者： mappy0213 回答日時： 2009/02/10 08:49

どの視点にたったかで変わりますね

一般的に確率ってのは客観的に見た常態で言うんですけどね
たとえばｔｏｔｏＢＩＧやロト６も当たりかはずれかだけですから
１／２ってなりますよね　それとコインの裏表どちらかが出るかも１／２ですが同じですか？
あくまで分母には総くじ枚数分子には当たり枚数を書きます

この回答への補足

回答、ありがとうございます。

＞たとえばｔｏｔｏＢＩＧやロト６も当たりかはずれかだけですから
１／２ってなりますよね　それとコインの裏表どちらかが出るかも１／２ですが同じですか？

私の書いた考えが“仮に”正しいならば、そうなるでしょう。
でも、何かおかしいと思うのですよ。
サイコロの１を出す確率も、ある立場から見れば
「１が出る」か「１以外が出る」か
の２択になってしまう。・・・とここまで書いて、なにかが今開けそうな気がしてますが。

「（ある事柄に対して）期待を抱く人」からみれば、どのような事象も
「期待通り」か「期待はずれ」の２択になり、確率は１／２。
それはなんか変な気が。

＞一般的に確率ってのは客観的に見た常態で言うんですけどね
＞あくまで分母には総くじ枚数分子には当たり枚数を書きます
受験での解答の仕方は、確かにそうですね。
というか、そうでした。私の場合は。

すみません、もう少し考えてみます。

補足日時：2009/02/10 09:40

No.4 回答者： yaemon_2006 回答日時： 2009/02/09 21:43

　

>くじの中には「アタリかハズレしか存在しない」のだから
　"アタリ"と"ハズレ""ハズレ""ハズレ""ハズレ"が存在する。

この回答への補足

回答、ありがとうございます。

＞"ハズレ""ハズレ""ハズレ""ハズレ"が存在する。
これらのハズレは、引く側にとって区別する意味はないですよね？
ハズレ１を引こうが、ハズレ２を引こうが、・・・
・・・引く側から見たら、どれもハズレであることには変わりない。

すみません、私の考えの何かがおかしいとは感じているのです。
例に出した問題が、情報不足なのかもしれません。
もっと厳密に書けばよかったのかも。

キーワードは、「同様に確からしい」ではないかと思えてきました。

補足日時：2009/02/10 09:33

No.3 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/02/09 21:02

良いところに気がつきましたね。

例えば、ドリームジャンボ宝くじの場合、
１等～７等と、１等の前後賞、組み違い賞、
ハズレも含めて１０種類あります。
貴方の言う通り、
１等が当たる確率は、クジを買う立場で１／１０。
１等賞金２億円だけ考えても、賞金の期待値は
２０００万円以上です。
これが１枚３００円で買えるのですから、
濡れ手で粟。全国に億万長者が無数に誕生…
しない理由は何なんでしょう？

覚えているとか、忘れたとかいう次元の問題でもない
ように思います。宝くじ売り場へ駆け出す前に、少し
常識を使って、考えてみて下さい。

この回答への補足

＞例えば、ドリームジャンボ宝くじの場合、
１等～７等と、１等の前後賞、組み違い賞、
ハズレも含めて１０種類あります。
貴方の言う通り、
１等が当たる確率は、クジを買う立場で１／１０。

違います。私の言ってることが仮に正しいなら、
１等が当たる確率は、くじを買う立場で１／２、です。
１等かそれ以外か、ですから。

で、そういう風に考えると、
全ての確率は、ある特定の立場の人にとっては
「期待した結果」か「それ以外」
の２択になってしまい、
ある特定の立場の人にとっての確率は全て１／２
となってしまうわけで、そこに違和感を感じたので
どこがおかしいのか・間違ってるのか、をお聞きしたわけです。


＞これが１枚３００円で買えるのですから、
濡れ手で粟。全国に億万長者が無数に誕生…
しない理由は何なんでしょう？

＞覚えているとか、忘れたとかいう次元の問題でもない
ように思います。宝くじ売り場へ駆け出す前に、少し
常識を使って、考えてみて下さい。

ここは雑談の場ではありません。

不特定多数の方も見てると思います。
もしかしたら、今確率・統計を勉強中の受験生も、見てるかもしれません。
（その確率は、私の質問の通りだと、見てる・見てないの２択で１／２、・・・？）

回答する気がないなら、書くべきではないと思います。

えらそうなこと書いて、すみません。

補足日時：2009/02/10 09:20