試行回数が高いほうが確率はいいのか？

大きさがそれぞれ1.5、1.0、1.5の穴があるとします。
これらの穴に向かって直径をa (a<1.0) とする球体をランダムに投げたとき、穴に入らない場合は入るまで何度でも繰り返すという試行を行います。
振り分け(穴に入る場合の割合)は穴の大きさと同様に、1.5：1：1.5とした場合、中央の幅1.0に入る確率は、試行回数の増減によって変わるのか、もしくは１回でも１００回でも確率は同じなのか

考えるほどよく分からなくなります・・・　
数学得意な方ぜひ・・・

質問者からの補足コメント

• ご指摘ありがとうございます。質問の仕方を変えてみます。
  
  左・中央・右と穴があって、玉を投げた時、それぞれ2%、1%、2%の確率で入るとします。(95%の確率で外れる)
  外れた場合、いずれかの穴に玉が入るまで投げるという試行を繰り返した時、中央の穴に入る確率は試行回数によって差があるかどうか
  
  です。よろしくお願いします。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/01/12 22:25

No.7 回答者： kmee 回答日時： 2017/01/15 10:09

まず、「確率」と「試行の結果、実際にどの事象がどれだけ発生したかの割合」を区別できていますか?

「確率」は、ある条件のときに、ある事象がどれくらい発生しやすいのかを表わす値です。
条件が同じなら、確率も同じです。
「同条件のはずが確率が変化した」ということはありません。そのように見えるのは、見落していた条件が変化したことによるものです。

また、試行の結果、「必ずその割合発生する」こと保証するものではありません。


サイコロを振って1が出る確率は1/6です。
これは「6回振ったら、必ず1回1が出る」という意味ではありません。

6回振って1回も出ないこともあります。
このとき、「1が出た割合」は 0/6 です。が、「1が出る確率」は1/6のままです。
7回目に1が出たとします。
このとき、「1が出た割合」は 1/7 です。が、「1が出る確率」は1/6のままです。

もし、確率が変化したということなら、何かの条件が変化した、ということです。
例えば、元々が形が悪くて「1が出ないサイコロ」だったのが、試行を繰り返すことで変形して「1が出る」サイコロになった、とか。


質問の試行を考えます。

確率に直接影響しそうなのは次のものです。
・投げ方
・球の形状
・穴の形状や位置
試行回数が直接影響するような要素(例えば、試行の度に減っていくくじ、のような)は特に見当たりません。

それぞれの条件が、質問文にあるように
・完全にランダムな投げ方
・球は変形しない
・穴は変形しないし移動しない
だったら、試行回数による影響は無いはずです。
よって、試行回数によって条件が変化しないのだから、確率も変化しません。

これが
・「中央の穴を狙って投げるが、コントロールが不十分なので、狙いと違った場所へいく」という意味での「ランダム」
　これを、前回までの結果を基に、中央の穴に入るように投げ方の調整を繰り返す。
・穴の縁や板に衝突することで、球が変形する
・球と衝突することで、穴の形状が変化する
だとすると、これらは試行回数に依存するので、試行回数によって確率が変化することになります。

影響がどれくらいか、は、条件によって異なります。
「新聞紙に開いた穴に鉄の球」と「鉄の板に開いた穴にピンポン玉」とでは、変形の度合いが違うため、確率への影響も違います。
後者は「無視できる誤差」と言えるでしょう。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/01/13 09:15

うーん、試行回数によって確率が変化するという考え方自体

理解できません。十分な試行回数で事象が起きる割合が
一定の割合に収束するというのが確率なので、もし変化するなら
そういう事象には確率は定義できません。

この問題、例えば左の穴に限定して考えてみましょう。
左の穴に入る事象が起きる確率は

1回目に左に入る確率+1回目は外れ2回目に入る確率+
１，２回目は外れ3回目に入る確率+・・・・

なので、1回投げた時に 左に入る確率を p, 外れる確率を q とすると
左に入る確率 P は

P = Σ[i=0→∞]{q^i・p}

これは等比数列ですから P = p/(1-q)
p=0.02, q=0.95 なら P= 0.4

これが左に入る確率です。真ん中も右も同様に求められます。

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2017/01/12 23:03

問題に「それぞれ2%、1%、2%の確率で入るとします」と書いているじゃないですか。

だったら、前提通り「2%、1%、2%の確率で入る」のですよ。そういう前提なのですから。

その「それぞれ2%、1%、2%の確率で入るとします」っていうのは、どうやって求めたとお考えなのですか？

No.4 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/01/12 22:52

1回で入ろうが、99回外れて100回目で入ろうが、9999回外れて10000回目で入ろうが、

どこに入るかの確率は変わりません。
その場合変化するのは、最大n回で投げるのを止めた場合、玉がどこかに入っているかどうか。　といった感じの場合です。
1回で止めた場合より、10000回投げた場合の方が、どこかに入っている可能性は高くなりますよね。

No.3 回答者： testman199 回答日時： 2017/01/12 22:34

試行回数を増やすと

試行結果が理論確率に近づくだけです

>それぞれ2%、1%、2%の確率で入るとします。(95%の確率で外れる)
１回しか投げなければ、試行結果が100%、0%、0%、0%のように偏るでしょう
試行回数を増やせば、試行結果が2%、1%、2%、95%に近づきます

No.2 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2017/01/12 22:32

まだ理解できないです。

「いずれかの穴に玉が入るまで投げる」というのが1回の試行ということでよいですか？（1回玉を投げることではなくて）
だとするなら、単純に考えて試行は毎回独立ですから、中央の穴に入る確率は、試行回数によって差があるわけがないですけど。
そういう意味ではない？（こんな当たり前のことを質問するわけがないでしょうから）

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2017/01/12 21:57

問題設定が理解できないです。

他人にも考えていることがわかるように書いてください。

＞振り分け(穴に入る場合の割合)は穴の大きさと同様に、1.5：1：1.5とした場合
どういう意味ですか？

＞試行回数の増減によって変わるのか
何の試行回数ですか？穴に入らない場合は入るまで何度でも繰り返すんではないんですか？