単振り子の運動方程式をエネルギー保存則から導け

単振り子は糸の長さがLで先についているおもりの重さがm糸の張力がT
重力加速度がgで速さがV糸と鉛直方向の角度がθです

宜しくお願いします

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A 回答 (3件)

brogieです。


最初に回答したのはよいですが、motsuanさんが言われるように、間違っています。
御免なさいm(___)m

θ<<1として
sinθ = θ
cosθ = 1 -θ^2/2 (1)
と近似式が成り立ちます。

y = L-Lcosθ (これを間違っていました)
= L-L(1 - θ^2/2)
=Lθ^2/2 (2)

エネルギー保存則は
mV^2/2 + mgLθ^2/2 = const

tで微分して
mV(dV/dt) + mgLθ(dθ/dt)= 0 (3)

質点mが運動する方向(接線方向)にsをとると
s = Lsinθ = Lθ (近似式) (4)

Vは接線方向の速度ですから
V = ds/dt
= L(dθ/dt) (5)

(3)式は、(5)式を使って
m(dV/dt) + mgθ = 0 (6)

mgθ = mgsinθ
ですから、重力の接線方向の成分です。
これをFとすると、(6)式は

m(dV/dt) = - F (7)

と運動方程式が求まります。
-がついているのは、sの増加する向きを正にとっているからです。
(5)式があなたが補足質問されている答えです。
また、間違いがあるかも知れませんが、後はあなたの実力で解答してください。
では。
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brogieさんのやり方でいいと思いますが、


y=L-Lsinθが間違っています。y=L-Lcosθですよね。
Lθが弧の長さであることがわかれば分かると思います。

もし、レポートの問題でしたら、エネルギーの時間変化から
dθ/dtを落とすところで、dθ/dt=0のとき
(ほとんどすべての点でそうではないのですが)の扱いについて
じっくり考えてみるとよいのではないでしょうか?

以上アドバイスでした。
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今晩は!!



エネルギー保存則は
mV^2/2 + mgy = const
です。

y = L-Lsinθ
θ<<1とおくと(振幅が小さいとき)
sinθ = θ  (近似式)
となるので
y = L-Lθ  (近似式)

故に、
mV^2/2 + mg(L-Lθ) = const
この両辺を時間tで微分すると、
mV(dV/dt) -mgL(dθ/dt) = 0
となり

L(dθ/dt) = V
であるから、
mV(dV/dt) - mgV = 0

m(dV/dt) = mg

となる。これが求める運動方程式でしょう?
何年ぶるかな! こんな問題にチャレンジしたのは?
自信なし(^^;

この回答への補足

mV(dV/dt) -mgL(dθ/dt) = 0
の後

L(dθ/dt) = V
に続くところがよくわかりません
お手数ですが答えてくださると嬉しいです

補足日時:2001/06/26 21:10
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Q<<単振り子>>最下点通過のときの糸の張力?

はじめまして。高校生のlemon9です。
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【問題】
糸の一端に物体をつけ他端を天井の一箇所に固定して、
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(単振り子の状態)
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という問題で、働く力は、
●糸の張力=T  ●重力=mg
ここまでは分かりました。

しかし、模範解答によれば、
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学校の先生は高校物理IIの知識を使うのだとおっしゃっていたのですが、自分の持ち合わせの教材が物理Iまでのものなので、解決することが出来ませんでした。

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Aベストアンサー

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 この向心力は、おもりに働く張力T(上向き)と重力mg(下向き)によって生じているので、

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実体振り子と、単振り子では同じ微小振動でも、慣性モーメントが入ってるか入っていないかで、微小振動の値はかわってきますか?実体振り子で慣性モーメントを考えにいれる場合の計算方法は、回転半径Kをもとめ、lを相当単振り子のながさとして、周期TをT=2π√l/gで求めるやり方でいいのでしょうか?

Aベストアンサー

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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

 普通は後者の条件がいわれますが、「振り子の長さが十分に長いこと」という条件はあまり聞きませんね。
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なるべく一般家庭にありそうなものでお願いします。

Aベストアンサー

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ただ、楕円を描くのは、振り子の錘の放し方の影響があるかと思います。錘を放すとき、わずかに左右にぶれると軌道が楕円になります。正確に放すのは難しいですよ。
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