単振り子の運動方程式をエネルギー保存則から導け

単振り子は糸の長さがLで先についているおもりの重さがm糸の張力がT
重力加速度がgで速さがV糸と鉛直方向の角度がθです

宜しくお願いします

A 回答 (3件)

brogieです。


最初に回答したのはよいですが、motsuanさんが言われるように、間違っています。
御免なさいm(___)m

θ<<1として
sinθ = θ
cosθ = 1 -θ^2/2 (1)
と近似式が成り立ちます。

y = L-Lcosθ (これを間違っていました)
= L-L(1 - θ^2/2)
=Lθ^2/2 (2)

エネルギー保存則は
mV^2/2 + mgLθ^2/2 = const

tで微分して
mV(dV/dt) + mgLθ(dθ/dt)= 0 (3)

質点mが運動する方向(接線方向)にsをとると
s = Lsinθ = Lθ (近似式) (4)

Vは接線方向の速度ですから
V = ds/dt
= L(dθ/dt) (5)

(3)式は、(5)式を使って
m(dV/dt) + mgθ = 0 (6)

mgθ = mgsinθ
ですから、重力の接線方向の成分です。
これをFとすると、(6)式は

m(dV/dt) = - F (7)

と運動方程式が求まります。
-がついているのは、sの増加する向きを正にとっているからです。
(5)式があなたが補足質問されている答えです。
また、間違いがあるかも知れませんが、後はあなたの実力で解答してください。
では。
    • good
    • 0

brogieさんのやり方でいいと思いますが、


y=L-Lsinθが間違っています。y=L-Lcosθですよね。
Lθが弧の長さであることがわかれば分かると思います。

もし、レポートの問題でしたら、エネルギーの時間変化から
dθ/dtを落とすところで、dθ/dt=0のとき
(ほとんどすべての点でそうではないのですが)の扱いについて
じっくり考えてみるとよいのではないでしょうか?

以上アドバイスでした。
    • good
    • 0

今晩は!!



エネルギー保存則は
mV^2/2 + mgy = const
です。

y = L-Lsinθ
θ<<1とおくと(振幅が小さいとき)
sinθ = θ  (近似式)
となるので
y = L-Lθ  (近似式)

故に、
mV^2/2 + mg(L-Lθ) = const
この両辺を時間tで微分すると、
mV(dV/dt) -mgL(dθ/dt) = 0
となり

L(dθ/dt) = V
であるから、
mV(dV/dt) - mgV = 0

m(dV/dt) = mg

となる。これが求める運動方程式でしょう?
何年ぶるかな! こんな問題にチャレンジしたのは?
自信なし(^^;

この回答への補足

mV(dV/dt) -mgL(dθ/dt) = 0
の後

L(dθ/dt) = V
に続くところがよくわかりません
お手数ですが答えてくださると嬉しいです

補足日時:2001/06/26 21:10
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q単振り子、ばね振り子のそれぞれの周期を教えてくだい

「地表で、ばねの長さを半分にし、単振り子は糸の長さを半分にして鉛直面内で振らせるとき。

ただし、ばねの長さを半分にするとばね定数は2倍になる。」

この問題の単振り子、ばね振り子のそれぞれの周期を教えてください。

Aベストアンサー

「地表で、……振らせるとき。」で切れてしまっていて、問題がはっきりしませんが。


最後にある「それぞれの周期」がいくらになるかは、具体的な条件(ばね定数とか糸の長さとか)がわからないと答えられないので、

……振らせるとき、元の周期の何倍になるか

というようなこととして、回答します。

ばね振り子の周期は T=2π√(m/k) なので、k が 2倍 になると T は1/√2倍になります。
単振り子の周期は T=2π√(L/g) なので、L が 1/2 になると T は 1/√2倍になります。

Q<<単振り子>>最下点通過のときの糸の張力?

はじめまして。高校生のlemon9です。
高校物理の質問があって投稿しています。
【問題】
糸の一端に物体をつけ他端を天井の一箇所に固定して、
糸が鉛直方向と60゜(=θ)を成す位置から振らせる。
(単振り子の状態)
物体が最下点を通過するとき、物体に働くすべての力とその大きさは?


という問題で、働く力は、
●糸の張力=T  ●重力=mg
ここまでは分かりました。

しかし、模範解答によれば、
"この2力の間には、T=2mgなる関係が存在する"
ということで、そこが分からず困っています。
学校の先生は高校物理IIの知識を使うのだとおっしゃっていたのですが、自分の持ち合わせの教材が物理Iまでのものなので、解決することが出来ませんでした。

さらに、θ=90゜のときの最下点の張力についても教えて頂けたら嬉しいです。お願いいたします(__)

Aベストアンサー

 まず、振り子の糸のの長さを L 最下点での速度を v とすると、力学的エネルギーの保存から
(1/2)mv^2=mg(1/2)L
となり、後の計算のためにこれを mv^2=mgL と変形しておきます。

 最下点では半径 L の円運動をしており、おもりには mv^2/L だけの向心力(上向き)が働いています。(ここは 物理II の内容です)

 この向心力は、おもりに働く張力T(上向き)と重力mg(下向き)によって生じているので、

T-mg=mv^2/L

となります。この式に先の mv^2=mgL を使って変形すれば T=2mg が得られます。

Q単振り子と円運動

単振り子と円運動の問題を解いていて、ちょっと混乱してしまいました。
円運動において角速度ω=dφ/dtは角度の時間変化ですよね。
単振り子の接線方向の運動方程式は、
mldφ"=-mgsinφと書けますが、なぜ角速度ωで
書き表さないのでしょうか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

単振り子は普通、φ<<1としてsinφ≒φの近似を使います。すると、mlφ"=-mgφとなって単振動の式に帰着できますけど、この形になると(x"=-ω^2xという形になると),x(t)=Asinωt+Bcosωtと解がきまっているので、
すぐに解けることになるのです。(なお、この場合のωはただの定数です。ご質問のωと関係ありません)

一方ご質問にあるω=φ'を使うと,
単振動の形には帰着できないし、そもそもφをωで表すことは積分の形にならざるを得ないから、ややこしくなります。

ただ、例えば速度(位置の一階微分)に比例する空気抵抗が働く場合の運動を考える場合、
mx"=-kvとなりますけど、これは外力が位置xではなく
位置の一階微分である速度vに依存する形になってるので、この場合x"=v'として、式をmv'=-kvとした方が
解くのが楽になります。

つまり、何を変数に使うかはケースバイケースです。
ご質問では外力はφに依存するから、φ'=ωではなく
φを変数に使うのです。

Q高校物理の振り子でおもりを離した直後の張力について

物理の振り子の問題で、おもりを離した直後の張力を求める問題なのですが、
私は鉛直方向の力のつり合いから、Tcosθ=mgとしたのですが、
解答はT=mgcosθでした。
どうしてそのようになるのでしょうか?
分かりやすく教えていただけると幸いです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

多分、おもりを離した直後は静止しているから、だから「力のつり合い」と考えたのでしょうね(^^;)
そこで、力のつり合いが成り立つときの物体の運動を確認しておきましょう(^^)
力がつり合っているとき、
1)静止している物体は、静止を”続ける”
2)運動している物体は、等速直線運動を続ける
でしたね(-_-)
この問題では、おもりを離した後、一瞬おもりは静止していますが、静止を「続ける」わけではありませんね(◎◎!)
したがって、この問題を力のつり合いで解くのは間違っているんですね(^O^)
じゃあ、どうやって解くかと言いますと、おもりは振り子運動を始めますが、
振り子運動は、”等速”ではない、円運動の一部になっていますね(^^)
そこで、思い出して欲しいのですが、円運動が”等速”でなくても、
円運動の各瞬間は、等速円運動であると考えて式を立てることが出来ましたね(-_-)
それを思い出せば、おもりを離した直後の円運動の式は、
向心力F=m・v^2/r より、・・・向心力Fは、物体に働く力の中心方向(ひもの方向)の成分を入れるんでしたね
T-mgcosθ=m・(0^2/r) = 0  何故なら、おもりを離した直後のおもりの速さは0 だから
これより、
T=mgcosθ
となります(^^)

多分、おもりを離した直後は静止しているから、だから「力のつり合い」と考えたのでしょうね(^^;)
そこで、力のつり合いが成り立つときの物体の運動を確認しておきましょう(^^)
力がつり合っているとき、
1)静止している物体は、静止を”続ける”
2)運動している物体は、等速直線運動を続ける
でしたね(-_-)
この問題では、おもりを離した後、一瞬おもりは静止していますが、静止を「続ける」わけではありませんね(◎◎!)
したがって、この問題を力のつり合いで解くのは間違っているんですね(^O^)
じゃあ、ど...続きを読む

Q単振り子の周期

次元解析の所で、単振り子の問題が出てきました。単振り子の周期Tの公式は、2π*√l/g(lは振り子の長さ、そしてgは加速度)という事はインターネット上で分かったのですが、なぜこうなるのかがわかりません。物理学を初めて勉強し始めたので、回答者さんにとっては初歩的なことかもしれませんが、宜しくお願いします。

Aベストアンサー

振り子は小振幅においても円運動です。円運動の中心角をθ(シーター)として、重力加速度gの円周方向成分gsinθが重りmを静止位置に向かう力mgsinθとなります。重りmが半径lの円周上を動く距離xはx=lθです。
ニュートンの運動方程式F=maは、力Fがmgsinθ、加速度aがd2x/dt2に対応して
mgsinθ=md2(lθ)/dt2となります。両辺のmは消えて、定数lは微分の外に出て、
sinθ=(l/g)d2θ/dt2と式が整います。これが振り子の運動方程式ですが非線形方程式であるので解は初等数学では求まりません。しかし振幅が小さければsinθ=θと近似できるので式は
θ=(l/g)d2θ/dt2となります。この解はθ=Acos(2πt/T)であり、これを2回微分して比べれば周期Tは√(l/g)であることが分かります。
sinθ=θは線形近似と呼ばれますが振幅の線形近似であって運動を直線近似してるのではありません。

Q実体振り子、単振り子の違い

実体振り子と、単振り子では同じ微小振動でも、慣性モーメントが入ってるか入っていないかで、微小振動の値はかわってきますか?実体振り子で慣性モーメントを考えにいれる場合の計算方法は、回転半径Kをもとめ、lを相当単振り子のながさとして、周期TをT=2π√l/gで求めるやり方でいいのでしょうか?

Aベストアンサー

よいです。

Q単振り子が切れないように…

質量mのおもりを長さrの糸に取り付けた単振り子がある。
(糸は同じおもりをもう1つ付けてもギリギリ切れない強度を持っている)

この(おもり1つだけの)単振り子を糸が切れないように運動させるとき、
おもりを最大どの高さまで上げることができるか。
但し、高さの基準は振り子の最下点とする。

↑の問題が分かりません(^^;
2mgが限界なのだから、あとmg分の力にも耐え得るということですよね…?
おもりに働く張力と重力以外の力は…慣性力なんでしょうか?
解法を説明していただけると助かります。

Aベストアンサー

単振り子と書かれていますが、不等速円運動の問題です。
高校の範囲で考えます。高校の範囲では、不等速円運動の接線方向成分について運動方程式が扱えません。代わりに、力学的エネルギー保存則を考えます。単振り子なのでエネルギー保存は成立しています。
おもりの最高点で糸は鉛直方向と角θをなすとします。
最高点と最下点では、高さの差はr(1-cosθ)だけあります。最高点では、おもりの速さは0で運動エネルギーも0です。
最下点を基準にすると、角θをなす時点での位置エネルギーはmgr(1-cosθ)です。これが最下点での運動エネルギー(1/2)(mv^2)に等しいとおくと、
(1/2)(mv^2)=mgr(1-cosθ)
最下点での運動方程式は、最下点での張力をTとして、
T-mg=mv^2/r
両式よりv^2を消去して、
(T-mg)r=2mgr(1-cosθ)
∴ T=mg(3-2cosθ)
θを0から大きくしていくと、cosθは小さくなるので、Tは大きくなります。
T=2mgのときに糸が切れるので、糸が切れない条件は、
T=mg(3-2cosθ)≦2mg
∴ cosθ≧1/2
従って、θを60度(π/3)よりも大きくすると切れることになりますが、このくらいの角度になってしまうと「単振り子」とは言えなくなります。

単振り子と書かれていますが、不等速円運動の問題です。
高校の範囲で考えます。高校の範囲では、不等速円運動の接線方向成分について運動方程式が扱えません。代わりに、力学的エネルギー保存則を考えます。単振り子なのでエネルギー保存は成立しています。
おもりの最高点で糸は鉛直方向と角θをなすとします。
最高点と最下点では、高さの差はr(1-cosθ)だけあります。最高点では、おもりの速さは0で運動エネルギーも0です。
最下点を基準にすると、角θをなす時点での位置エネルギーはmgr(1-cosθ)です。こ...続きを読む

Q単振り子が単振動になるための条件

高校の物理で単振り子が単振動になるための条件として、
・振り子の長さLが十分に長いこと
・振り子の振りの大きさθが十分に小さいこと
を習いました。

後者はθが小さいときsinθと一致するという単純な近似によるものですが、
前者はどのような理由からですか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

 普通は後者の条件がいわれますが、「振り子の長さが十分に長いこと」という条件はあまり聞きませんね。
 糸があまり短いと、おもりが質点とみなせない、ということはあるかも知れません。糸の上端を中心とした単振動以外に、おもりがぐらぐら揺れる動きが無視できない、ということでしょうか。
 

Q単振り子

単振り子の運動方程式をエネルギー保存則から導け

単振り子は糸の長さがLで先についているおもりの重さがm糸の張力がT
重力加速度がgで速さがV糸と鉛直方向の角度がθです

宜しくお願いします

Aベストアンサー

brogieです。
最初に回答したのはよいですが、motsuanさんが言われるように、間違っています。
御免なさいm(___)m

θ<<1として
sinθ = θ
cosθ = 1 -θ^2/2 (1)
と近似式が成り立ちます。

y = L-Lcosθ (これを間違っていました)
= L-L(1 - θ^2/2)
=Lθ^2/2 (2)

エネルギー保存則は
mV^2/2 + mgLθ^2/2 = const

tで微分して
mV(dV/dt) + mgLθ(dθ/dt)= 0 (3)

質点mが運動する方向(接線方向)にsをとると
s = Lsinθ = Lθ (近似式) (4)

Vは接線方向の速度ですから
V = ds/dt
= L(dθ/dt) (5)

(3)式は、(5)式を使って
m(dV/dt) + mgθ = 0 (6)

mgθ = mgsinθ
ですから、重力の接線方向の成分です。
これをFとすると、(6)式は

m(dV/dt) = - F (7)

と運動方程式が求まります。
-がついているのは、sの増加する向きを正にとっているからです。
(5)式があなたが補足質問されている答えです。
また、間違いがあるかも知れませんが、後はあなたの実力で解答してください。
では。

brogieです。
最初に回答したのはよいですが、motsuanさんが言われるように、間違っています。
御免なさいm(___)m

θ<<1として
sinθ = θ
cosθ = 1 -θ^2/2 (1)
と近似式が成り立ちます。

y = L-Lcosθ (これを間違っていました)
= L-L(1 - θ^2/2)
=Lθ^2/2 (2)

エネルギー保存則は
mV^2/2 + mgLθ^2/2 = const

tで微分して
mV(dV/dt) + mgLθ(dθ/dt)= 0 (3)

質点mが運動する方向(接線方向)にsをとると
s = Lsinθ = Lθ (近似式) ...続きを読む

Q振り子のおもりに適するもの

振り子の周期を測定したいのですが、おもりのせいできれいにできません。(振れないで、楕円を描いて回ってしまう・おもりがくるくる回るなど)
振り子のおもりに最適なものを教えてください。
なるべく一般家庭にありそうなものでお願いします。

Aベストアンサー

おもり、小さくて重いものがよいので、釣りの錘などがあればよいかもしれませんね。

ただ、楕円を描くのは、振り子の錘の放し方の影響があるかと思います。錘を放すとき、わずかに左右にぶれると軌道が楕円になります。正確に放すのは難しいですよ。
あと、錘の回転ですが、糸で吊っていますか? 糸の多くはねじってあるものがほとんどです。錘でぶら下げた場合、その影響でねじれが生じやすいです。編んである糸だと影響が少なくなると思います。編んである糸、ちょっと入手が難しいのですけど・・・。


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング