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単振り子の運動方程式をエネルギー保存則から導け

単振り子は糸の長さがLで先についているおもりの重さがm糸の張力がT
重力加速度がgで速さがV糸と鉛直方向の角度がθです

宜しくお願いします

A 回答 (3件)

brogieです。


最初に回答したのはよいですが、motsuanさんが言われるように、間違っています。
御免なさいm(___)m

θ<<1として
sinθ = θ
cosθ = 1 -θ^2/2 (1)
と近似式が成り立ちます。

y = L-Lcosθ (これを間違っていました)
= L-L(1 - θ^2/2)
=Lθ^2/2 (2)

エネルギー保存則は
mV^2/2 + mgLθ^2/2 = const

tで微分して
mV(dV/dt) + mgLθ(dθ/dt)= 0 (3)

質点mが運動する方向(接線方向)にsをとると
s = Lsinθ = Lθ (近似式) (4)

Vは接線方向の速度ですから
V = ds/dt
= L(dθ/dt) (5)

(3)式は、(5)式を使って
m(dV/dt) + mgθ = 0 (6)

mgθ = mgsinθ
ですから、重力の接線方向の成分です。
これをFとすると、(6)式は

m(dV/dt) = - F (7)

と運動方程式が求まります。
-がついているのは、sの増加する向きを正にとっているからです。
(5)式があなたが補足質問されている答えです。
また、間違いがあるかも知れませんが、後はあなたの実力で解答してください。
では。
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brogieさんのやり方でいいと思いますが、


y=L-Lsinθが間違っています。y=L-Lcosθですよね。
Lθが弧の長さであることがわかれば分かると思います。

もし、レポートの問題でしたら、エネルギーの時間変化から
dθ/dtを落とすところで、dθ/dt=0のとき
(ほとんどすべての点でそうではないのですが)の扱いについて
じっくり考えてみるとよいのではないでしょうか?

以上アドバイスでした。
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今晩は!!



エネルギー保存則は
mV^2/2 + mgy = const
です。

y = L-Lsinθ
θ<<1とおくと(振幅が小さいとき)
sinθ = θ  (近似式)
となるので
y = L-Lθ  (近似式)

故に、
mV^2/2 + mg(L-Lθ) = const
この両辺を時間tで微分すると、
mV(dV/dt) -mgL(dθ/dt) = 0
となり

L(dθ/dt) = V
であるから、
mV(dV/dt) - mgV = 0

m(dV/dt) = mg

となる。これが求める運動方程式でしょう?
何年ぶるかな! こんな問題にチャレンジしたのは?
自信なし(^^;

この回答への補足

mV(dV/dt) -mgL(dθ/dt) = 0
の後

L(dθ/dt) = V
に続くところがよくわかりません
お手数ですが答えてくださると嬉しいです

補足日時:2001/06/26 21:10
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