2つ式のグラフがなす角度の等倍の直線の式

一次関数のグラフについての一連の質問で最初に質問した時のZincerさんの回答でX軸でなく2つの直線が作る角度を2等分する直線についてもご指導いただきました。そこで原点を通る一次関数で2つの直線が作る角度と同じ角度の第3の直線の式について質問します。ただし第1象限のみで考えます。
⑴　①Y=1/3 X と　②Y=3/4 X が作る角度と同じ角度を②Y=3/4 X　との間に作る
　第③の直線の式はどのように計算したらいいのでしょうか。
⑵　⑴に関連して　①　Y=ax と　② Y= bX が作る角度と同じ角度を ②Y=bX との間に作る
第 ③の直線の式には　公式のような一般解はあるのでしょうか。あるとしたらどのように計算し　　て導くのでしょうか

No.2 ベストアンサー 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/02/24 01:36

その一連の質問というのが分かりませんが、

その時に角を二等分する直線の式が求められたのであれば、
その逆をすれば良い訳ですよね？

直線Lと直線Mが成す角を2等分する直線Nを求める式
↓
直線Lと直線Nが成す角を2倍した角を成す直線Mを求める式

以前の式が分からないので、自分なりのやり方でやりますが、
まずY=aXにX=1を代入するとY=aとなり、(1,a)という座標の点ができます。（点Aとする）

次に点Aを通りY=bXに垂直な直線を考えます。
a=-1/b*1+c
c=a+1/b
Y=-(1/b)X+a+1/b
この直線（④とする）とY=bXの交点は
bX=-(1/b)X+a+1/b
(b+1/b)X=a+1/b
X=(a+1/b)/(b+1/b)
=(ab+1)/(b^2+1)
これを代入して
Y=bX=b(ab+1)/(b^2+1)
つまり交点は((ab+1)/(b^2+1),b(ab+1)/(b^2+1))となる。（点Bとする）

Aと直線②で対称な位置にある点をCとして、
AB＝CB、O（原点）Bは共通、∠OBA=∠OBC=90°より
△OBA≡△OBC
よって∠BOA=∠BOCとなるので、
求めたい直線はOCである。

ということはCの座標が分かればよい。
Cの座標は④上にあり、X座標は、「BのX座標-（AのX座標-BのX座標）」
＝BのX座標の2倍-AのX座標
＝2(ab+1)/(b^2+1)-1
=(2(ab+1)-(b^2+1))/(b^2+1)
=(2ab+1-b^2)/(b^2+1)
となり、これを④に代入して
Y=-(1/b)(2ab+1-b^2)/(b^2+1)+a+1/b
=(-2a-1/b+b+(b^2+1)(a+1/b))/(b^2+1)
=(-2a-1/b+b+ab^2+b+a+1/b)/(b^2+1)
=(-a+2b+ab^2)/(b^2+1)

Cの座標は((2ab+1-b^2)/(b^2+1),(-a+2b+ab^2)/(b^2+1))
となるので、OCの傾きは
((-a+2b+ab^2)/(b^2+1))÷((2ab+1-b^2)/(b^2+1))
＝(-a+2b+ab^2)/(2ab+1-b^2)

なんか綺麗にまとめられてない気もしますが、これを傾きとして原点を通る直線なので
Y=(-a+2b+ab^2)/(2ab+1-b^2)X
となります。

例えば、bが1の時（45°なので考え易い）
Y=(-a+2+a)/(2a+1-1)X
=(2/2a)X
=(1/a)X
となります。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/02/23 17:59

要は「直線 l に関して直線 m と対称な直線 n を求めろ」ってことなんだから, 実質的に m 上の適当な点を l に関して対称

移動させればいいだけの話.