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微分、積分を勉強すると線形、非線形、同時、非同時と出てくるのですがその違いはいったいどういうものなんでしょうか?高校、大学と文系の勉強をしていたのでその違いがわかりません!

A 回答 (2件)

自信はないですが、



微分方程式では、(yはxの関数、y^{n}でyのn階微分を表すとして)

a0(x)*y+a1(x)*y^{1}+…+an(x)*y^{n}=b(x)

と表されるものを"線形"微分方程式と呼び、

そうでないものを"非線形"微分方程式と呼びます。
例えば,y^{i}*y^{j}の項があったりすると、非線形微分方程式です。


上記線形微分方程式の中で,

b(x)=0であるものが"同次"方程式(or斉次方程式)
b(x)≠0であるものが"非同次"方程式(or非斉次方程式)

とか、いう感じだった気がします。

なお、y´=f(y/x)の形の微分方程式も同次方程式と呼ばれていたと思います。
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この回答へのお礼

例題を用いての説明ありがとうございます。

お礼日時:2004/08/19 19:32

線形:ベクトルの集合に対してその要素の定数倍と加法で特徴づけられる数式,すなわち一次式.



非線形:線形(一次)の項のみでなく,高次の項も含む数式.また、未知関数あるいはその微分の高次の項を含む微分方程式.さらに、そのような方程式で記述される現象.

「同時・非同時」は「時間が同じかそうでないか」の違いなのでは?
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Q線形・非線形って何ですか?

既に同じようなテーマで質問が出ておりますが、
再度お聞きしたく質問します。

※既に出ている質問
『質問:線形、非線型ってどういう意味ですか?』
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=285400
結局これを読んでもいまいちピンと来なかった...(--;


1.線形と非線形について教えてください。
2.何の為にそのような考え方(分け方)をするのか教えてください。


勝手なお願いですが、以下の点に留意いただけると大変うれしいです。
何せ数学はそんなに得意ではない人間+歳なので...(~~;

・わかりやすく教えてください。(小学生に説明するつもりぐらいだとありがたいです)
・例をあげてください。(こちらも小学生でもわかるような例をいただけると助かります)
・数式はなるべく少なくしてください。

『そんな条件じゃ説明できないよー』という方もいると思いますが、どうぞよろしくお願いいたしますm(__)m

Aベストアンサー

昨日「線形の方がなんとなくてわかりやすくないですか」と書いたんですが、やっぱり理系の人間らしく、もうちょっときちんと説明してみます。昨日は数式をなるべく出さないように説明しようとがんばったんですが、今日は少しだけ出しますが、勘弁してください。m(__)m(あと、長文も勘弁してください)


数学的にはちょっとここまで言えるかわかりませんが、自然界の法則としては、「線形」が重要な意味を持つのは、xの値が変化するにつれて変化するyがあったときに、

(yの増加量)/(xの増加量)=A(一定)

という規則が成り立つからです。

xやyの例としては昨日の例で言う例1だとxがガムの個数、yが全体の金額、例2だとxが時間、yが走った距離です。

この規則が何で役に立つかというと、式をちょっと変形すると、

(yの増加量)=A×(xの増加量)・・(1)

ということがわかります。つまり、Aの値さえわかれば、xが増えたときのyの値が容易に推測できるようになるわけです。


ここで「Aの値さえわかれば」と書いていますが、この意味を今から説明します。

自然界の法則を調べるためには何らかの実験を行います。例えば、りんごが木から落ちる運動の測定を行います。
ここから質問者様がイメージできるかわかりませんが、りんごは時間が経つにつれて(下に落ちるにつれて)落下するスピードが速くなるんです。今、実験として、1秒ごとにりんごのスピードを測定したとします。そしてその結果をグラフにプロットしていくと、直線になることがわかります。(ここがわかりにくいかもしれませんが、実際に実験を行うとそのようになるのです)

数学の問題のように初めから「時速100kmで走る」とか「1個100円のガム」とかいうことが与えられていれば直線になることはすぐにわかります。
しかし、自然界の法則はそうもうまくいきません。つまり、実験を行ってその結果をプロットした結果が直線状になっていたときに初めて「何らかの法則があるのではないか」ということがわかり、上で書いた「Aの値さえわかれば」の「A」の値がプロットが直線状になった結果、初めてわかるのです。

そして、プロットが直線状になっているということは、永遠にそうなることが予想されます。つまり、今現在はりんごが木から落ちたときしか実験できませんが、その結果を用いて、もしりんごが雲の上から落としたときに地面ではどのくらいのスピードになるかが推測できるようになるわけです。ここで、このことがなぜ推測できるようになるかというと、(1)で書いた関係式があるからです。このように「なんらかの法則があることが推測でき、それを用いて別の事象が予言できるようになる」ことが「線形」が重要だと考えられる理由です。

しかし、実際に飛行機に乗って雲の上からりんごを落としたらここで推測した値にはならないのです。スカイダイビングを想像するとわかると思いますが、最初はどんどんスピードが上がっていきますが、ある程度でスピードは変わらなくなります。(ずっとスピードが増え続けたら、たぶんあんなに空中で動く余裕はないでしょうか??)つまり、「線形から外れる」のです。

では、なぜスピードが変わらなくなるかというと、お分かりになると思いますが、空気抵抗があるからなんですね。(これが昨日「世の中そううまくはいかない」と書いた理由です)つまり、初めは「線形」かと思われたりんごを落とすという実験は実際には「非線形」なんです。非線形のときは(1)の関係式が成り立たないので、線形のときほど容易には現象の予測ができないことがわかると思います。


では、非線形だと、全てのことにおいて現象の予測が難しいのでしょうか?実はそうでもありません。例えば、logは非線形だということをNo.5さんが書かれていますが、「片対数グラフ」というちょっと特殊な形のグラフを用いるとlogや指数関数のグラフも直線になるんです。つまり、普通のグラフでプロットしたときに「非線形」になるため一見何の法則もないように見えがちな実験結果が「片対数グラフ」を用いると、プロット結果が「線形」になってlogや指数関数の性質を持つことが容易にわかり、それを用いて現象の予測を行うことが(もちろん単なる線形よりは難しいですが)できるようになるわけです。


これが私の「線形」「非線形」の理解です。つまり、

1) 線形の結果の場合は同様の他の事象の推測が容易
2) 非線形の場合は同様の他の事象の推測が困難
3) しかし、一見非線形に見えるものも特殊な見方をすると線形になることがあり、その場合は事象の推測が容易である

このことからいろいろな実験結果は「なるべく線形にならないか」ということを目標に頑張ります。しかし、実際には先ほどの空気抵抗の例のように、どうしても線形にはならない事象の方が世の中多いんです。(つまり、非線形のものが多いんです)

わかりやすいかどうかよくわかりませんが、これが「線形」「非線形」を分ける理由だと思っています。

やっぱり、「線形の方がなんとなくわかりやすい」くらいの理解の方がよかったですかね(^^;;

昨日「線形の方がなんとなくてわかりやすくないですか」と書いたんですが、やっぱり理系の人間らしく、もうちょっときちんと説明してみます。昨日は数式をなるべく出さないように説明しようとがんばったんですが、今日は少しだけ出しますが、勘弁してください。m(__)m(あと、長文も勘弁してください)


数学的にはちょっとここまで言えるかわかりませんが、自然界の法則としては、「線形」が重要な意味を持つのは、xの値が変化するにつれて変化するyがあったときに、

(yの増加量)/(xの増加量)=...続きを読む

Q斉次とは?(漢字と意味)

"斉次"という漢字表記と意味の対応についてお尋ねしたいです。

次数が斉しい、と訓読できると思うのですが、
ここでいう次数とは何の次数なのでしょうか?

Aベストアンサー

 ご存じの通り、「斉次」=「次数が斉(ひと)しい」 でよろしいと思います(英語では、homogenous)。また、別の言い方としては「同次」ともいいます。

 さて、お尋ねの次数についてですが、例えば、xとyの多項式の場合は、xとyを同じものとして扱って、同じ次数(xとyを掛けた回数)だけで表されるものを「斉次」といいます。

 例)○ x^3+x^2・y+x・y^2+y^3   (x、yについての3次の斉次多項式)
   × x^3+x^2・y+x・y^2+y^3+5 (定数項の5は次数0で異なる次数のものが含まれているので。)

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F#.E6.96.89.E6.AC.A1.E5.A4.9A.E9.A0.85.E5.BC.8F


 また、微分方程式などで使われる場合は、y、y'、y''、y'''などを同等に扱って、同じ次数(y、y'、y''、y'''などを掛けた回数)だけで表されるものを斉次微分方程式といいます。

 例)○ y''+y'+y=0    (次数は1)
   ○ y''y'+y''y+y'y=0 (次数は2)
   × y''+y'^2+y=0   (1次と2次が混在)
   × y''+y'+y=5    (0次と1次が混在)
   × y''+y'+y=x    (0次と1次が混在)

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F#.E5.AE.9A.E6.95.B0.E4.BF.82.E6.95.B0.E3.81.AE.E6.96.89.E6.AC.A1.E5.B8.B8.E5.BE.AE.E5.88.86.E6.96.B9.E7.A8.8B.E5.BC.8F.E3.81.AE.E8.A7.A3.E6.B3.95

 ご存じの通り、「斉次」=「次数が斉(ひと)しい」 でよろしいと思います(英語では、homogenous)。また、別の言い方としては「同次」ともいいます。

 さて、お尋ねの次数についてですが、例えば、xとyの多項式の場合は、xとyを同じものとして扱って、同じ次数(xとyを掛けた回数)だけで表されるものを「斉次」といいます。

 例)○ x^3+x^2・y+x・y^2+y^3   (x、yについての3次の斉次多項式)
   × x^3+x^2・y+x・y^2+y^3+5 (定数項の5は次数0で異なる次数のものが含まれ...続きを読む

Q線形2階微分方程式と非線形2階微分方程式の違いは?

数学用語の意味の違いがいまいちつかめません。

(1)【線形2階微分方程式】
未知数y(x)とその導関数y'(x),y''(x)についての線形の微分方程式
   y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
を 2階線形微分方程式という.最も簡単な例として
d^2f(x)/dx^2=0
がある。

(2)【非線形2階微分方程式】
非線形2階微分方程式の定義がテキストには載っていなかったのですが、
   y''+p(x)y'+q(x)y ノットイコール f(x)
が非線形2階微分方程式ということでしょうか?

(1)と(2)の違いがどこにあるのか、はっきりせずにモヤモヤしているので、
スッキリさせたいです。どなたか数学に詳しい方がいらっしゃれば、
どうかご教授下さい。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

線形微分方程式は、y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
など、微分演算子を、D=Dxx+p(x)Dx+q(x)のように
ひとつにまとめて、
Dy=f(x)
のように書けるものです。
ここに、Dxxはxで2回微分、Dxはxで1回微分することを意味する。
関数全体の空間をベクトル空間と見て、
Dは関数空間の間の線形写像になっているから線形微分方程式
といいます。
一方、y''y+y'=f(x)のようなものは、Dy=f(x)の形に書けないので、
線形微分方程式とは言いません。
要するに、y,y',y'',…の線形結合=f(x)のタイプが線形微分方程式
で、そうでないものが、非線形微分方程式です。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q同次方程式

なぜ「同次」方程式というのでしょうか?定数項がないことと同次という言葉が結びつきません。英語では「Simultaneous Equation」だそうで、訳すならば「同時」方程式となりそうですが、こちらも意味が全くわかりません。どなたか教えてください。

Aベストアンサー

「同次」とは全ての項の次数が同じという意味です。例えば、
x+y , x^2+xy+y^2 , (x+y+z)^2 , x^3+y^3+z^3+xyz
などです。これらの式を同次式といいます。
同次方程式は、同次式からなる方程式です。

Q微分方程式 線形 非線形

前回の質問の続きです。
前回の質問内容:http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7818206.html

ラプラス方程式が、2階線形偏微分方程式、
ポアソン方程式が、2階非線形偏微分方程式であることは
理解できました。ありがとうございます。

微分方程式で参考書やインターネットにあった線形微分方程式と
非線形微分方程式を以下に示します。

線形微分方程式
(1)y”+y’-2x=0
(2)y’+xy=1
(3)(x-1)y''-xy'+y=0

非線形微分方程式
(1)(y”)^2+y’-2x=0
(2)x(y”’)^3+y’=3
(3)y・y’+xy=1

上記、線形/非線形の分類に間違いはあるでしょうか?

非線形微分方程式の(3)y・y’+xy=1は、なぜ非線形となるのでしょうか?
y・y’+xy=1⇒y’+x=1/y⇒y’+x-1/y=0は線形ではないでしょうか?

線形微分方程式(2)y’+xy=1も、xy’+xy=1となると非線形になるの
でしょうか?

ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

←A No.3 補足

> 多項式においてxとyを共に変数とすると、
> xyもyyもどちらも2次ですよね?
A No.3 を、ほとんど読んでないようですね?

xy も yy も { x,y } については 2 次です。
しかし、y についての微分方程式の次数を数えるときは、
{ y,y',y'',y''',… } についての次数を見るのです。

x は、{ y,y',y'',y''',… } に含まれていません。
yy' は、y と y' が 1 次づつの積で { y,y',y'',y''',… } については 2 次、
xy' は、{ y,y',y'',y''',… } に含まれるのが y だけで 1 次です。

(u-1)(v^2+v+1)w が、{ u,v } について 3 次であることも解りますか?


また、
> yy’とxy’におけるxとyはどちらも微分していないので、
のようなことが気になってしまうなら、

yy’+xy=1 は、AB+xA-1=0 の A,B に { y,y',y'',y''',… } の
どれかを代入したもの。AB+xA-1 は { A,B } について何次式か?
と考えてみるとよいと思います。

微分方程式を、多変数多項式=0 の多変数に y または y の高次導関数を
代入したものと見たときに、左辺の多項式の次数が微分方程式の次数。
それが 1 次なら、線型。更に定数項が 0 なら、同次 1 次です。

←A No.3 補足

> 多項式においてxとyを共に変数とすると、
> xyもyyもどちらも2次ですよね?
A No.3 を、ほとんど読んでないようですね?

xy も yy も { x,y } については 2 次です。
しかし、y についての微分方程式の次数を数えるときは、
{ y,y',y'',y''',… } についての次数を見るのです。

x は、{ y,y',y'',y''',… } に含まれていません。
yy' は、y と y' が 1 次づつの積で { y,y',y'',y''',… } については 2 次、
xy' は、{ y,y',y'',y''',… } に含まれるのが y だけで 1 次です。

(u-1)(v^2+v+1)w ...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Qarcsinのマクローリン展開について

arcsinxのマクローリン展開は、どのようにすればよいのでしょうか?

Aベストアンサー

マクローリン級数展開

Q重ね合わせの原理と線形性

重ね合わせの原理と線形性にはなにか関連性があるのでしょうか?

分かる方、回答をよろしくお願いします。

Aベストアンサー

重ね合わせの原理とは、解の和が解であること。
線型性とは、解の和も、解の定数倍も
どちらも解であること。
重ね合わせの原理は、線型性の一部分です。

Q変数とパラメータとは違うものでしょうか?

変数とパラメータとは違うものでしょうか?
もし違いがあるのならば、どういう違いがあるのでしょうか?
たとえば、y=ax+bという式では、yとxは変数で、aとbはパラメータみたいな、いいかげんな理解しかありません。
(aとbが変数になり、yとxがパラメータになることもあることはわかります。)
解説のあるURLとかもあったら教えてください。

Aベストアンサー

>たとえば、y=ax+bという式では、yとxは変数で、aとbはパラメータみたいな、
>いいかげんな理解しかありません。

そのような理解でいいと思いますよ。

さらに簡単な式を考えて: y=f(x)=ax
こうして書かれた関数fはxの陽の関数ですが実は沢山の直線を含みます。
補助変数aを1、2,3・・・と変えていくと確かにそうなりますね。
f(x;a)=ax とでき、fは見た目にはaにもxにもよる関数になります。
言葉でいうとこの方程式はパラメータaに依存した式です。
aの値を異なるように固定することによって個々の関数の性質は違ってきます。
f(x;1)=x  :yはxの値に等しい。
f(x;0)=0  :yはxの値に関わらず常に0である。
とこの二つの関数は違いますね。
これはパラメータaの値に依存して方程式の性質が変わってしまったのです。

グラフ上では単なるy=xとy=0の違いですが、
物理的に考えるとある物理量yはある物理量xに単純依存するのか、
それとも物理量xがいかなる量を取ろうとも物理量yは表れず観測されない
のかとでは、かなり大きな違いです。
統計量にしても、xを夏の一日の最高温度、yを清涼飲料水の一日の売上金
としてその相関をaと考えれば、相関がないとするとf(x;0)=0となり、
現実に合わない結果になります。このような場合xとyが関係あるのか無いの
かは調べて実際みないと分からないので取りあえず生のデータを取ってみて
統計からきめます。例えば最小二乗法によってaを決めます。

>たとえば、y=ax+bという式では、yとxは変数で、aとbはパラメータみたいな、
>いいかげんな理解しかありません。

そのような理解でいいと思いますよ。

さらに簡単な式を考えて: y=f(x)=ax
こうして書かれた関数fはxの陽の関数ですが実は沢山の直線を含みます。
補助変数aを1、2,3・・・と変えていくと確かにそうなりますね。
f(x;a)=ax とでき、fは見た目にはaにもxにもよる関数になります。
言葉でいうとこの方程式はパラメータaに依存した式です。
aの値を異なるように固...続きを読む


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