以下、4人でトーナメントを行う時、異なる組合せは3通りだと分かっているとします。
まず、8人でトーナメントを行う場合の異なる組合せの数え方は、以下のように行いました。
8人から4人のグループを作り、それぞれ4人のトーナメントを行うと考える。
すなわち、(8C4/2)*3*3=315通り
この考え方で、次の問題を考えるとうまくいかなかったのですが、その理由を教えて下さい!
問題
8人でトーナメントを行う。8人の間には実力差があり、試合では常に実力上位のものが勝つと仮定する。このとき、実力第三位のものが決勝戦に進出する組合せ方式は、何通りあるか。
自分の考え方は次の通りです。8人をA~Hとおき、実力差をA>B>C>、、、>Hとします。
4人グループを作る際に、Cは必ずD~Hのうち3人とグループになるようにし、以下は先述の解法通りにします。
すなわち、(5C3/2)3*3=45通り
ですが解答では90通りになっていました。恐らく2で割ったところにもんだいがあるのですが、なぜ2で割ってはいけないか分かりませんでした。
ご回答宜しくお願いします!<(_ _)>
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
8人から4人を選んだ場合を考えてみましょう。
先に選ばれた4人がトーナメント①、選ばれなかった4人がトーナメント②に出場とします。
トーナメント①にてA-B-C-Dが選ばれたとします。
トーナメント②は残ったE-F-G-Hですね。
トーナメント①にてE-F-G-Hが選ばれたとします。
トーナメント②は残ったA-B-C-Dですね。
さて、前者と後者は何か違うのでしょうか?
トーナメント①か②かの違いはあれ、組み合わせは同じですね。
なので重複分をカウントしないために÷2する必要があります。
(全ての組み合わせにおいて、トーナメント①に選ばれる組み合わせとトーナメント①に選ばれない組み合わせが重複するので)
一方、8人の中から3人の相手を選ぶ場合、
Cと同じグループにD-E-Fが選ばれたとします。
もう一方はA-BとG-Hですね。
さて、今回は先ほどと違って、Cと同じグループは3人、違うグループは2人(A-Bは固定なので除く)です。
同じ組み合わせになるわけがないので、2で割る必要はありませんね。
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