不完全性定理って 現実から離れた数学としての真理なのか？ それとも 現実に即しているのか？

次の解説をめぐって　二つ目に引用した事例に沿って問います。

▲　（哲学的な何か、あと科学とか：不完全性定理）　～～～～～～～～～
http://www.h5.dion.ne.jp/~terun/doc/fukanzen.html
不完全性定理は述べる。

「どんな理論体系にも、証明不可能な命題（パラドックス）が必ず存在する。
それは、その理論体系に矛盾がないことを
その理論体系の中で決して証明できないということであり、
つまり、おのれ自身で完結する理論体系は構造的にありえない」

▲　（同上）　～～～～～～～～～
たとえば、ボクが、「ボクは嘘つきだ」と言ったとする。

もしこの言葉が「真実」であれば、ボクは「嘘つきである」ことになるが、
そうすると「嘘つきなのに、真実を言った」ことになってしまい、
おかしなことになる。

一方、この言葉が「嘘」だとすれば、
ボクは「正直者である」という事になるが、
そうすると、「正直者なのに、嘘を言った」ことになってしまい、
おかしなことになる。

結局、ボクの言葉が、真実でも、嘘でも、
おかしなことが発生してしまうのだ。
～～～～～～～～～～～～～～

☆　おそらく取り上げた事例がふさわしくない――つまり　ただの論理だけで
現実のものごとを扱っている――と思うのですが　このタトへなら　

　《ウソをつかない人間はいない》

と返しておしまいではないのだろうか？

定理がどうの数学的真理がこうのと言うまでのことではないのではないか？




具体的に見ても　その《ボク》が生きて来ている歴史においてその振る舞いを
実際に捉えてみれば　すぐ分かることだ。つまり：　

　《ほんとうのことを言う場合もあれば　ときにはウソをつくこともある》

と。あるいは：

　《社会に生きる人間であるなら　ホンネは違っていても止むを得ずタテマヘ
　に従わざるを得ないと――おのが心で――判断し　そのタテマヘに従うこと
　を　現実的なホンネとする》

ということ。――こうではないか？




もし　そうだとしたら・この限りで　このゲーデルの定理は　形式主義の数学
がそうであるように　現実から遊離した世界の中での或る種の真理をこそ・そ
してそれのみを扱っている・・・ということなのか？

それとも　そうではなく　まさしく人間の現実世界に対応している真理なのか？

どうなのでしょう？
なお　ヰキぺの解説を見ても数式がよく分かりませんので　言葉で表現しても
らえればさいわいです。

質問者からの補足コメント

• それと言うのも　ちょうどいま哲学カテでは　不完全性定理が　現実の
  世界のこととして・哲学のふつうの議論として　有効であり適用されう
  ると言っている〔と思わせる〕回答が寄せられているのです。
  
  はっきり知りたいと思っての問いです。

    補足日時：2017/04/15 14:18

No.15 ベストアンサー 回答者： 通報 回答日時： 2017/04/16 13:14

こんにちは、概ね回答は出揃っているのですが、２、３・・・

　まず、第1不完全性定理とは、

「自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、ω無矛盾であれば、証明も反証もできない命題が存在する。」のことです。


　以下は、言葉の定義です。

・無矛盾性：公理自身が矛盾していないかどうかのこと。なお、このω無矛盾は後のロッサーにより、単なる”無矛盾”まで、拡大されました。

・完全性：ある一組の公理から，そこに含まれるすべての命題を導くことができるというもの。

　逆に言いますと、

・不完全性：ある一組の公理から，そこに含まれるすべての命題を導くことができないものが必ず１つは残ること。を意味します


　この定理は、「真」として、証明されてしまっていますので、どうしようもありません。



　そこで、

（１）不完全性定理って 現実から離れた数学としての真理なのか？ それとも 現実に即しているのか？

　そもそも、「自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、無矛盾であれば」、という前提がありますが、”この世界”がそのような無矛盾でありえないと思います。事実様々な公理（らしきもの）がありますが、これらが一切矛盾せずに（当然、例外などはあってはなりません）であるのか？と問われれば、「偽」だと考えられるからです。


（２）つまり　ゲーデルのこの定理を出して　哲学カテの哲学問題についての回答とする場合が　あとを絶たないように見られます。

　そもそも、人間が作ったものには、限界がある、もしくは、人間理性には限界がある、ということを言いたかったのだと思います。少なくとも、当初の哲学者は、です。ですが、これが拡大解釈されるようになってしまったのだと思います。


（３）無矛盾で出来ている公理系で　真偽を決定することができる場合もある。一部で　決定できない場合がある。
　ということらしいですね。

　はい、そのようになります。”少なくとも１つは決定できない場合がある”ことを証明したものですから。




　以上、ご参考まで。

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございます。

★　～～～～～～～～～～～
　　（２）[・・・]　

　そもそも、人間が作ったものには、限界がある、もしくは、人間理性には
限界がある、ということを言いたかったのだと思います。少なくとも、当初
の哲学者は、です。ですが、これが拡大解釈されるようになってしまったの
だと思います。
～～～～～～～～～～
☆　これは　おもしろいですね。当初の意図は　現実と対応していた。と受
け取られます。


★　～～～～～～～～～
　　（３）無矛盾で出来ている公理系で　真偽を決定することができる場合
　　もある。一部で　決定できない場合がある。
　　　ということらしいですね。

　はい、そのようになります。”少なくとも１つは決定できない場合がある”
ことを証明したものですから。
～～～～～～～～～
☆　ここも　納得を深めてくれますね。初めから　そう言ってくれればよい
ものをと思います。

でしたら――用語の定義をつかみとる問題もありますが――：
★　～～～～～～～～
　　（１）[・・・]

　そもそも、「自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、無矛盾であれば」、
という前提がありますが、”この世界”がそのような無矛盾でありえないと思
います。

　事実様々な公理（らしきもの）がありますが、これらが一切矛盾せずに
（当然、例外などはあってはなりません）であるのか？と問われれば、「偽」
だと考えられるからです。
～～～～～～～～～～
☆　とおそわるなら　どうも《公理》が曲者だなと思われます。

勘ぐるならば　結果として《証明が成る》ことをみちびくために　あらかじめ
公理の内容などを決めているのではないかとすらうたがわれます。

暴言でしょうが　連続体仮説やら対角線論法に絡んでは　言いたくなります。

ありがとうございます。

お礼日時：2017/04/16 14:51

No.20 回答者： pikaruche 回答日時： 2017/04/19 09:07

お礼、ありがとうございます。

多少正確な議論にするために、No.18への補足ですが、、、

不完全であることは、（その公理のもとで）証明も反証もできない命題が存在するのですから、第一定理は「部分知」の意味合いをもちます。

第二定理の「無矛盾であることが証明できない」は、背理法があやしくなってしまうのですから、確かに数学にとっては大きな問題です。この問題に関しては、有限の立場（これも説明が長くなるらしいですが）をあいまいにすれば、数学的な無矛盾性は可能なようです。

例　自然数論の無矛盾性（ゲンツェンによるもの）
　　実数論の無矛盾性（竹内外史によるもの）

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございます。

★　不完全であることは、（その公理のもとで）証明も反証もできない命題
が存在するのですから、第一定理は「部分知」の意味合いをもちます。
☆　そのようであろうと思いますという推理を述べるしか　精確には言えな
い質問者ではあります。

★　第二定理・・・
☆　これも　残念ながらわたしにはむつかしいですね。

参考資料を例示していただきました。

或る程度は勉強しようとして来ましたし　いまもそうしています。でも　高
校までで　集合論を習わなかったんです。どうもそのことが　尾を引いてい
るように思います。あの記号によって論理をはこぶやり方が　いまでは億劫
に感じます。

愚痴で終わるのはいけませんが。・・・

お礼日時：2017/04/19 10:03

No.19 回答者： pikaruche 回答日時： 2017/04/19 03:23

No.18への追加ですが、おそらく不完全性定理の意味合いは、公理を用いた形式主義で表現・認識されることがらは、完全ではなく、部分知である、ということだと思います。

部分にしかすぎないが、それでも「知」「理」であると、、。

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございます。

★　～～～～～～～～～～
[・・・]部分知である、ということだと思います。

部分にしかすぎないが、それでも「知」「理」であると、、。
～～～～～～～～～～
☆　そうですね。質問者は　この定理が現実と対応しているかどうか
に関心を持ちました。

定理をふつうの言葉で表現しておこなう説明に接して　そういう事例
では　現実と対応していないではないか。と思ったものですから　質
問しました。

公理系が前提として存在すること（あるいは　その公理の内容をどの
ように規定するかということ）　このことがどうも――現実からのズ
レを生むのではないかという意味で――曲者のようだと思ったわけで
すが　《部分知である》のかどうか。

これは　わたしはただちにはよく分かりません。と思います。


でも　コンピュータなどには応用されているんですよね。もしそうな
ら　その意味での現実と――つまり論理性の分野で　《部分知》とし
て――対応している・・・んでしょうかねぇ。




質問者はわけもなく張り切ってガミガミ言って来ましたが　みなさん
にみちびかれて　ひとつの里程標を示し得る地点に到達したのではな
いかと思っています。

お礼日時：2017/04/19 06:07

No.18 回答者： pikaruche 回答日時： 2017/04/19 03:04

不完全性定理は、公理を用いた形式主義の限界を、「現実」に示したものだと思うのですが、、、、？　この公理を用いた形式主義は、数学に限らず、結構使われます。

不完全性定理の仮定を満たす公理系（自然数論を含むあたり、、）なら、数学の分野に限らず、持ってしまう性質なのでしょう。

公理を用いた形式主義以外に、人間はいかなる確かな方法をもっているか、、、、様々な実証・実験をふまえたとしても、、、認識する形式は公理を用いた形式主義にならざるをえないのか、、、、、、（よい試みがあるのかさえ私にはわかりません）

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございます。

★　不完全性定理の仮定を満たす公理系（自然数論を含むあたり、、）な
ら、数学の分野に限らず、持ってしまう性質なのでしょう。
☆　ふむ。そういうふうなんですかねぇ。現実にというよりは　学として
その中でなんでしょうか。

★　公理を用いた形式主義以外に、人間はいかなる確かな方法をもってい
るか、、、、
☆　なるほど。そしてこの問いは　りゅぱん３４４さんが次のようにひと
つの答えの方向をしめしてくれています。
◆　（回答№１６）　～～～～
[・・・]数学より上位の方法論でしか、数学の不完全性を排除できないと
言う事です。（これは、数学にとっては、重大な問題です）

その上位の方法論を、超数学と呼ぶか、あるいは、又哲学が担うのかは、
まだわからないです。
～～～～～～～～

☆　質問者のわたしはと言いますと　とてもその数学の内部で起きている
ことについて実地で分かる位置にはいませんので　何とも言えないのです
が。

あなたも　むつかしいという旨をおっしゃっていますが。

お礼日時：2017/04/19 05:54

No.17 回答者： lupan344 回答日時： 2017/04/16 19:57

お礼ありがとうございます。

一部訂正です。
クロネッカーは、自然数はアプリオリな概念として捉えていたので、考え方は直観主義です。
したがって、ヒルベルト・デデキントと併記したのは、間違いです。

この回答へのお礼

ダンケ。

うけたまわりました。いることは　いるのですね。直観主義。

お礼日時：2017/04/16 21:19

No.16 回答者： lupan344 回答日時： 2017/04/16 17:47

お礼ありがとうございます。

ゲーデルが証明した事の意味は、あくまで数学の公理系の範囲の話です。（つまり、哲学の事を言っているわけでは無いです）
ですから、これを使って、哲学自体を批判する事は適当ではありません。
ゲーデルの証明によって、問題がおきたのは、数学の公理系です。
数学は、その形式の内部において、完結する事を目指して、哲学から分かれたわけですが、一見、その形式だけで、閉じた分野として成り立つと考えられた、数学が、自分自身では、完結しない（不完全）な事が証明されてしまったわけです。
これが、何を意味するかと言えば、数学より上位の方法論でしか、数学の不完全性を排除できないと言う事です。（これは、数学にとっては、重大な問題です）
その上位の方法論を、超数学と呼ぶか、あるいは、又哲学が担うのかは、まだわからないです。
自然科学のように、その根本原因の追究をやめて、現象の観察のみにとどめて、発展する方法もあるわけです。（この場合は、数学は形式科学では無く、自然科学に類似した分野となるでしょう）
ゲーデル自体は、数学の形式は、人間が作った公理系だけではなく、形而上の数学の形式が存在すると考えていました。
したがって、数学はゲーデルにとっては、その形式を発見する学問だったわけです。
ですから、ゲーデルは、数学の公理として、アプリオリなものは、想定するよりはるかに多く存在すると考えました。
哲学的な言い方をすれば、ゲーデルは数学のプラトニズムと言えます。（形而上の数学と言う実体が存在すると考えていました）
ヒルベルトや、デデキント、クロネッカーなどは、そのような発想はしていませんから、数学の形式だけで、数学は完結可能と考えていました。
ただ、ゲーデルが不完全性定理を発見してしまったので、この野望は潰えてしまいました。（第一定理は、まだ大した問題では無かったのですが、第二定理「自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、無矛盾であれば、自身の無矛盾性を証明できない。」は大問題です）
注意しなければならないのは、数学内部だけでも、不完全性定理の対象外の公理系もあれば、自身の公理系では、不完全性定理が適用されても、数学の他の公理系で、証明可能な公理系がある事です。
数学全体で見れば、それは不完全性定理の適用される部分はありますが、全てがそうでは無いと言う事です。
数学全体を不完全性定理の適用外にする事は、数学だけでは無理です。（そういう意味で、数学だけで完結しようとする為には大問題だと言う事です）
ゲーデル自身は、哲学の現象学で、数学の公理系の不完全性の除去を行おうとしたようです。
つまり、ゲーデルの不完全性定理が証明した事は、数学は、数学以外の方法論を使わないと、その不完全性を除去できないと言う事です。
ですから、哲学的問題の解決が、ゲーデルの不完全性定理に関係するような意図の発言があるとしたら、それは哲学的問題の解決に数学的手法を利用している場合にのみ関係するだけです。
それ以外の場合は、何の関係もありません。

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございます。

★　ゲーデルが証明した事の意味は、あくまで数学の公理系の範囲
の話です。
☆　ええ。このたぐいの確認は　いくらあってもわたしには意義が
大きいです。

★　数学は、その形式の内部において、完結する事を目指して、哲
学から分かれたわけですが
☆　この知識も　分かりやすいです。

そして：
★　一見、その形式だけで、閉じた分野として成り立つと考えられ
た、数学が、自分自身では、完結しない（不完全）な事が証明され
てしまったわけです。
☆　という出来事が　言わば塀の向こうで起きたのですね。こちら
から見れば。


次のご指摘は　何となくですが　重大な問題であるようにわたしに
もひびきます。
★　これが、何を意味するかと言えば、数学より上位の方法論でし
か、数学の不完全性を排除できないと言う事です。
☆　学の総合という意味でも興味深いように思います。


★　ゲーデル自体は、数学の形式は、人間が作った公理系だけでは
なく、形而上の数学の形式が存在すると考えていました。
☆　これは　身を乗り出してふむふむとお聞きするお話ですね。

★　注意しなければならないのは、数学内部だけでも、不完全性定
理の対象外の公理系もあれば、自身の公理系では、不完全性定理が
適用されても、数学の他の公理系で、証明可能な公理系がある事で
す。
☆　おそらくそういうことなんでしょう。公理系が曲者だとにらん
だわけでした。


次のご指摘はわたしは　ブラヴォーと言って　再掲するのみです。

★　つまり、ゲーデルの不完全性定理が証明した事は、数学は、数
学以外の方法論を使わないと、その不完全性を除去できないと言う
事です。

★　ですから、哲学的問題の解決が、ゲーデルの不完全性定理に関
係するような意図の発言があるとしたら、それは哲学的問題の解決
に数学的手法を利用している場合にのみ関係するだけです。
それ以外の場合は、何の関係もありません。



質問は挙げてみるものですね。
№１５と№１６とが　みなさんのご回答の基本的におもむくところ
でしょうか。

お礼日時：2017/04/16 19:18

No.14 回答者： rupin_the_345th 回答日時： 2017/04/16 13:01

仮説法って質問者が作ったんじゃないかな?

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございます。

▲　（ヰキぺ：仮説演繹法）　～～～～～～
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%AE%E8%AA%AC …

仮説演繹法（かせつえんえきほう、英: hypothetico-deductive method）という
名前を最初につけたのはウィリアム・ヒューウェルであるが、これは科学的方法の
記述として提案されたものである。

§ １　概要
この用語はカール・ポパーが引用して以降、世に広まった。[・・・]
～～～～～～～～～～～～～～～～～

お礼日時：2017/04/16 14:31

No.13 回答者： rupin_the_345th 回答日時： 2017/04/16 10:45

仮説法ってなに?

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございます。

推論の仕方に三つほどあるようです。
　
　　Deduction：　Rule→　Case→　Result
　　（演繹法：　大前提→　小前提→　結論）

　　Induction：　Case→　Result→　Rule
　　（帰納法：　小前提→　結論→　大前提）

　　Abduction：　Result→　Rule→　Case
　　（仮説法：　結論　→　大前提→　小前提）


☆　まづ先に勝手に《結論》を推し出して　それをめぐって　ああぢゃ
こうぢゃと検証しながら　その結論の妥当性を裏付けるやり方だと思い
ます。

ヰキぺでは　仮説演繹法として載っていました。アブダクションという
項目もあります。


神や信仰をめぐる議論には　初めに神をこれこれであると想定し　仮説
として結論づけて　そのあと　経験的なものごとと照らし合わせ不都合
はないかと検証してゆきます。

お礼日時：2017/04/16 11:20

No.12 回答者： masa2211 回答日時： 2017/04/16 00:28

＞《ウソをつかない人間はいない》

＞と返しておしまいではないのだろうか？
何について議論しているか、という視点が抜けています。
現実世界は、たしかに、「全ての人間は嘘をつくことがある」なのだけど、
そうであれば、必然的に、
「人の発言は正しいのか正しくないのか、区別する方法は無い」となってオシマイ。

それじゃあ論理が記述できないから、命題に限定して議論します。
命題とは、文章が正しいか間違っているかどちらかというタイプの文章のことであり、中間（半分正しいとか、時により正誤が入れ替わる、とか。）は無い、ということ。
よって、「ウソつきとは、常に嘘を言う者を指す」とするのが、論理学では暗黙のことになります。
だから、そこにイチャモンつけても、野暮もいいところ。

で、論理学ですが、自己言及があると矛盾の巣窟になります。
たとえば、
蔵書目録
自分自身を引用していないような本全てを一覧にした（引用した）本 X を作ることを考える。
このとき X は X を引用するのか？

なので、自己言及禁止の方向で研究していたところ、
ゲーデルが、　　自然数論だけを用いた場合で、自己言及ができてしまった。よって、自己言及禁止というわけにはいかない
となって、アウト。
（その証明方法のゲーデル数云々は、聞かないでください。わたしには解らんから。）

＞ゲーデルの定理は　現実から遊離した世界の中での或る種の真理をこそ
＞そしてそれのみを扱っている・・・ということなのか？
＞それとも　人間の現実世界に対応している真理なのか？
人間の現実世界はもっとヒドイです。
まず、命題だけ、というのが現実離れしています。
人の意見は時間とともに変化します。また、○○が正しいときもあるし間違ってるときもある
という場合がほとんど。決して、論理学どおりではありません。
だから、上記みたいな現実のワケワカンなさが何かの理由で全て解決しても、ゲーデルの定理は、最後の砦として残っている
という解釈でかまわないと思うが。
現実のワケワカンなさが解決するとは思えないので。
あと、現実での自己言及ですが、
たとえば、国会議員が、「国議員は賄賂もらってはいけない」と言ったとして、言った本人は国会議員なので
自己言及となり、自己言及禁止ルールにより、発言そのものが抹殺されます。そして、うまく裏をかけば
自己言及禁止ルールにもかかわらず、国会議員が、「国議員は賄賂もらってはいけない」と言うことができる
というのが、ゲーデルの定理の趣旨。
現実は、「おまいう」の場合が多いけど。


＞不完全性定理が現実の世界のこととして有効なのか？
最も現実的なのは、コンピュータプログラムの世界。純粋に整数論だけで動いている。
チューリングの停止定理というのがあって、ゲーデルの定理と全く同じことを指している、ということは証明済。
コンピュータプログラムは、無限に計算を続けるか、適当なところで止まるかいずれか。
　※無限に計算を続ける単純な例は、方程式を反復法で解くとき、方程式の質と初期値の仮定が悪いのと
　　両方が成立すると計算が振動してしまい、無限に回る。
どっちになるか判定するコンピュータプログラムを作ることは可能か？　という問題。
　※特定のプログラムだけの判別なら可能なので、当該コンピュータで動く全てのプログラムを判別できる状況を
　　どっちになるか判定するコンピュータプログラムができた　と定義する。
　※勿論、当該プログラムを実行するよりも短い時間で、判定結果を出さないとなりません。

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございます。

★　そう（全ての人間は嘘をつくことがある）であれば、必然的に、「人の
発言は正しいのか正しくないのか、区別する方法は無い」となってオシマイ。
☆　そうとも限りません。

本人は　じゅぶん知っています。
また　その人の言動の歴史を見てみれば・そしてつねに検索に掛け得るよう
になっていれば　かなりの精度で　ウソかホントウかが分かるのでは？

初犯だと見られる場合には　ウソを言っていても　ほんとうのことを言って
いると受け取って応対するのが　ふつうです。

再犯以後はそれなりに対処します。

というように　案外多くの場合に――推理をも交えつつですが――区別する
すべがあるように思います。

しかも　分からない（区別し得ない）場合については　人間の現実が　そう
いうものだと受け取ることになります。

それが　現実の――非論理をふくむところの――広義の論理です。




中間の解はなく：
★　よって、「ウソつきとは、常に嘘を言う者を指す」とするのが、論理学
では暗黙のことになります。だから、そこにイチャモンつけても、野暮もい
いところ。
☆　その野暮が　現実なのでは？　そのつどイエスかノーかでどこまでも答
えを出して進める計算や思考の形式。これにものごとの扱い方を合わせると
いうのが　いまの論理学ということでは？

★　で、論理学ですが、自己言及があると矛盾の巣窟になります。
☆　現実の人間（ないしその相互の関係）は　論理学のみではないわけです。

自己言及を禁止するというのは　論理学の側の一方的な論理なのでは？


★　うまく裏をかけば　自己言及禁止ルールにもかかわらず、国会議員が、
「国議員は賄賂もらってはいけない」と言うことができるというのが、ゲー
デルの定理の趣旨。
☆　この《うまく裏をかけば》という事態について　残念ながらよく分かり
ませんでした。

基本的なこととしては　人間をコンピューターに合わせるというわけには行
かないと思います。

お礼日時：2017/04/16 01:10

No.11 回答者： lupan344 回答日時： 2017/04/16 00:00

お礼ありがとうございます。

「ゲーデルの不完全性定理」に関しては、啓蒙本などでも、解釈を間違っている例が多々あるようなので、数学者もそのような解説に関して困っているようです。（かなり、その内容を検証して、注意喚起している数学者（数学教員）などもいるようですが、なかなか、本の改定なども進まないようです）
WEB上の解説にいたっては、玉石混淆でしょうね。
注意喚起している人もいるようですが、WEB開設者が素直な人なら、直すでしょうが、そうでなければ、そのままでしょう。
また、数学者以外で、それを拡大解釈（しかも間違った解釈）している、他のジャンルの研究者もいるようなので、問題は根強いです。
ただ、不完全性定理があるから、すべての論理が、不完全と言っているとしたら、あまりにもおかしな意見ですよ。（そう言う意図で発言しているとしたら、全ての論理が不完全ですから、意味が無くなってしまいます）
そういう事は、ゲーデルは言っていません。

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございます。

無矛盾で出来ている公理系で　真偽を決定することができる場合も
ある。一部で　決定できない場合がある。

ということらしいですね。



これだけ明確に言っていただければ　納得が行ったように思います。
ありがとうございます。

お礼日時：2017/04/16 00:20