x(π−x)をフーリエ級数展開してください。 その結果を用いて以下の等式を証明してください。 1/(

x(π−x)をフーリエ級数展開してください。
その結果を用いて以下の等式を証明してください。
1/(1^3)−1/(3^3)＋1/(5^3)−1/(7^3)＋•••＝π^3/32

No.1 ベストアンサー 回答者： Ae610 回答日時： 2017/06/10 06:34

f(x) = x(π−x)　(0≦x≦π)　(でいいのかな・・!?)

これだけから
1/(1^3)−1/(3^3)＋1/(5^3)−1/(7^3)＋・・・＝π^3/32
に辿り着かせるためには可成り工夫がいる様に思う・・!

当方なりに考えてみた・・!
f(x) = x(π−x)　(0≦x≦π)だと半周期分(・・!?)の様にしか見えないため、
もう半周期分を付け足して考え
f(x) = x(π+x)　(-π≦x≦0)として
f(x)が(-π≦x≦πで)奇関数となるように取って、この区間でフーリエ級数展開してみる・・!
フーリエ級数を
f(x)～a0/2 +Σancos(nx)+bnsin(nx)として
手続きに従って係数a0 , an , bnを求めると
a0 = 0
an = 0
bn = -4/π・{1/n^3・(-1)^n－1/n^3}

よって
x(π−x)～-4/π・Σ[n=1～∞]{1/n^3・(-1)^n－1/n^3}sin(nx)
=(8/π)・Σ[k=1～∞]{(-1)^(k-1)/(2k-1)^3・sin(2k-1)x}

x = π/2とすれば
π^2/4 = (8/π)・Σ[k=1～∞]{(-1)/(2k-1)^3}
∴Σ[k=1～∞]{1/(2k-1)^3} =π^3/32

この回答へのお礼

よくわかりました！
ありがとうございますm(__)m

お礼日時：2017/06/14 16:54

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2017/06/10 06:41

ANo.1・・!

ちと記入漏れがあり訂正・・!
(-1)の冖乗を書き忘れた!

x(π-x)～-4/π・Σ[n=1～∞]{1/n^3・(-1)^n－1/n^3}sin(nx)
=(8/π)・Σ[k=1～∞]{(-1)^(k-1)/(2k-1)^3・sin(2k-1)x}

x = π/2とすれば
π^2/4 = (8/π)・Σ[k=1～∞]{(-1)^(k-1)/(2k-1)^3}
∴Σ[k=1～∞]{(-1)^(k-1)/(2k-1)^3} =π^3/32

この回答へのお礼

回答ありがとうございましたm(__)m

お礼日時：2017/06/14 16:54