数学

(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
という式の因数分解の仕方が分かりません、やり方を詳しく教えていただけると嬉しいですm(__)m

No.1 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/09/10 21:32

右の括弧内にcと言う因数が2個あるからそれでくくってみる。

(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
=(a+b+c)(ab+ca+bc)-abc
={(a+b)+c}{ab+c(a+b)}-abc

ここで、(a+b)=Ａと置くと、

{A+c}{ab+cＡ}-abc
=abA+cA²+abc+c²A-abc
=abA+cA²+c²A
=A(ab+cA+c²)

Aを(a+b)に戻すと

=(a+b){ab+c(a+b)+c²}
=(a+b){ab+ac+bc+c²}
=(a+b){a(b+c)+c(b+c)}
=(a+b)(b+c){a+c}
=(a+b)(b+c)(c+a)

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/09/10 22:20

a+b+c ,abc ,ab+bc+ca は、3次の対称式で、aとbとcを入れ替えても同じ値…(1)であるから、与式=f(a,b,c) において、a=ーbとおくと 与式=0になるので、

(a+b)という因数を持つ、また、(1)から、(b+c) と (c＋a)の因数も持つから
与式=p(a+b)(b+c)(c+a)とおける。これは、恒等式なので、a=b=c=1とおくと
左辺=3・3ー1=8 ,右辺=p・2・2・2=p・2^2=8・p ∴ p=1
よって、与式=(a+b)(b+c)(c+a)