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同じ地域を表した5万分の1の地図と、1万分の1の地図があります。
5万分の1の地図を1万分の1の地図の上に、はみださないように重ねるとき、
同じ地点を示す両地図上の点が一致するような地点があることを示せ。

ヒントは適当に基を設定し、1万分の1の地図から5万分の地図へのアフィン変換を構成し、
不動点が地図の内部に存在することを示せ。

という問題です。
誰かお願いします。

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A 回答 (5件)

すみません。

自信ありと言っておきながら,不動点が地図の中にあることの説明を忘れてました。

下の方のように収束べき級数に展開してもいいですが,背理法でやれば分かりやすいでしょう。
地図がもし2枚とも無限に広がっていれば不動点はただ一つ存在します。それは下の式を解けばよいです。それが小さい地図の中に(したがって大きい地図の中にも)あることを示したい。もし不動点が小さい地図の中にはなかったと仮定します。そうすると不動点は地図に掲載されている地域の外にあることになりますから,当然大きい地図の外側にあることになります。

ここで三枚目の「さらに大きい地図」を考えましょう。(次の文はちょっと分かりづらいですが,頑張って読んでください。)「さらに大きい地図」は,「大きい地図」を「小さい地図」に重ねるために実行する縮小,回転,平行移動を同じように施せばちょうど「大きい地図」に重なるようにとっておきます。そうすると上の議論と同じようにして,不動点は「さらに大きい地図」よりも外にないといけないことになります。

これでお分かりでしょう。この議論を続ければ,不動点は存在しないことになってしまい,矛盾が生じます。よって不動点は「小さい地図」の中にあることが示されました。
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そんなに難しく考えなくていいですよ。



大きい正方形の上に小さい正方形が乗っているという感じなので,大きい方の正方形を

1.縮小変換 2.回転変換 3.平行移動

すれば小さい正方形と一致させることが出来ます。(一般には地図は長方形ですが,正方形でも問題ないでしょう。)

複素数平面上で考えましょう。
1.の縮小は1/5倍でしたね。2.の回転はθラジアン,3.の平行移動は複素数αに対応するベクトル分,としましょう。
求めたい不動点の複素数をzとすれば,

z=z×(1/5・e^iθ)+α

となりますよね。この式は大丈夫でしょうか。あとはこれをzについて解けばいいのです。
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確かこの問題はトポロジーの不動点定理で証明できたはずです。


トポロジーをやっていたのがもうずいぶん前なので覚えていませんが。
「2次元円板DからDへの連続写像は必ず不動点を持つ」が
トポロジーの不動点定理だったはず。

不動点がないと仮定すると、1次元球面(いわゆる円ですが)と
2次元円板が同相(位相が同じ)ということになるけれども、
この2つはホモロジー群が異なるので、矛盾する。
したがってDからDへの連続写像は不動点を持つ。
こんな感じかな?
細かいところはトポロジーの初級レベルの本をみれば書いてあります。
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この回答へのお礼

トポロジー・・???
本探してみます。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/07/06 00:00

ちょっと間違えました。


> もとの面mの中に変換した面A(m)が、
> 面A(m)の中に 面A^2(m)が、...となっていることから
ですがAはアフィン変換にするべきですね。
T(v)=Av+a
に対して
m⊃T(m)⊃T^2(m)⊃T^3(m)...
となっているから
a+Aa+A^2a+A^3a+...
はちゃんとmの中に収束すると主張するのでしょう。
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あるベクトルvがあって、それが不動点だとすると


アフィン変換を行列Aとベクトルaで表して
v=Av+a
となります。これを解くと
v=(1-A)^(-1)a=(1+A+A^2+A^3+...)a

a+Aa+A^2a+A^3a+...
とどんどん足していっても、
もとの面m(ベクトルの集合のようなものと思ってください)
の中に変換した面A(m)が、面A(m)の中に
面A^2(m)が、...となっていることから、つねにそういう点が存在する
という具合に説明するのではないでしょうか?
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