２次式の最小値

x+y+z=1 のとき
x^2+2y^2+3z^2　の最小値の求め方を教えてください。
x^2+y^2+z^2　の最小値なら、相加平均相乗平均の関係から１／３とわかるのですが、
２、および３、という係数がついたときどうしてよいかわかりません。
よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： nich 回答日時： 2004/09/11 22:37

高校生ですか？

大学生なら、ｚを消去して、偏微分を使ってヘッシアンから求めることができるんだけど…
だめなのかな。

そんなら、まずｚを消去して、できたｘ、ｙの方程式をｘの関数とみて、平方完成して、そのときの最小値（ｙの関数）をもう一度平方完成すれば求まりますよ～

この回答への補足

高校生です。
実はこの問題は、ある大学（理系のいわゆる難関大学ではない）の入試問題（過去問）の第１問目なので、そんなに難しい問題ではないのだろうとたかをくくってときはじめたのですが、いくら考えてもわからなくて困っています。

補足日時：2004/09/11 23:08

この回答へのお礼

ありがとうございます。おっしゃるようにやってみたらなんとか答えにたどり着いたようです。
最小値は６／１１になりました。
その時、
ｘ＝６／１１
ｙ＝３／１１
ｚ＝２／１１
になりました。
私にとって第１問目のこの問題は難しすぎて、パニックになってきっと不合格になっただろうと想像して落ち込んでいます。
ともかくありがとうございました。

お礼日時：2004/09/12 01:27

No.9 回答者： eatern27 回答日時： 2004/09/12 11:27

#1です。

なるほど、そういう風にすれば、相加相乗を使って解けるんですね。#1に書いたのは、余計な事でしたね。すいませんでした。


コーシーシュワルツの不等式とは

(a^2+b^2)(X^2+Y^2)≧(aX+bY)^2　　(等号成立はa:b=X:Y)
(a^2+b^2+c^2)(X^2+Y^2+Z^2)≧(aX+bY+cZ)^2　　(等号成立は a:b:c=X:Y:Z)

などの不等式です。こんな風に書くと難しいかもしれませんが、p,qをベクトル(矢印は省略)としたら、

|p|^2|q|^2≧(p・q)^2　　(等号成立はp//q)

という式です。(p・qは内積)
(p・q)^2＝|p|^2|q|^2(cosθ)^2ですから、上の式が成り立つのは分かるでしょう。

p=(a,b),q=(X,Y)とすれば、上の不等式が、
p=(a,b,c),q=(X,Y,Z)とすれば、下の不等式がでてきますよね。
ですので、p=(a,b,c,…),q=(X,Y,Z,…)といくら増やしても成り立ちます。

もし、p=(1,1,1)、q=(x,y,z)とすると、
(1^2+1^2+1^2)(x^2+y^2+z^2)≧(x*1+y*1+z*1)^2=1^2
より、(x^2+y^2+z^2)≧1/3
等号成立はx:y:z=1:1:1よりx=y=z=1/3
となるので、x^2+y^2+z^2の最小値は1/3と求める事ができます。

x^2+2y^2+3z^2の方は少し技が必要なんですが、
p=(1,1/√2,1/√3),q=(x,√2y,√3z)
とすると、#3さんへのお礼に書いてあるような答えが出てきます。

この回答へのお礼

「コーシーシュワルツの不等式」についての詳しい解説をありがとうございました。
今の私にとって使いこなすのは難しそうですが、「なるほど！」と思うことはできました。
同じ問題に対していろいろな解法があることをあらためて感じることができました。
この場を借りてレスをいただいた全員の皆様に御礼申し上げます。
この質問を閉じようと思いますが、ポイントを差し上げるのに困りました。
皆様に２０ｐｔということにしたいのですが、それはできないみたいです。
すみませんが、根拠なく、えいや！！と適当に決めさせていただきます。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2004/09/12 21:15

No.8 回答者： noname#8027 回答日時： 2004/09/12 03:39

>点と平面の距離

点と直線の場合とほぼ同じですね。（参考参照）
しかしながら、習っている方法でやるのが一番です。この方法は、計算は楽だと思いますが、記述がやっかいですから、平方完成する方がポピュラーですね。

参考URL：http://www.tanimura.org/v1/?title_id=22113&mode=d

No.7 回答者： Rossana 回答日時： 2004/09/12 02:06

ANo.5の補足回答．

その回答ならOKですね．綺麗にうまく行きましたね．

No.6 回答者： noname#8027 回答日時： 2004/09/12 01:50

>x^2+2y^2+3y^2=r^2　とおくと球がつぶれて、卵型みたいになるのでしょうか？

>よくわかりません。

そうなるとは思いますが、実際には、
√2y=Y
√3z=Z
の変換をすると良いと思います。
　　　1　　　　　　1
x+－－－Y＋－－－Z=1　のとき　x^2+Y^2+Z^2の最小値は？
　　√2　　　　　√3
という問いに置き換える事ができますので、
平面と原点との距離を求める公式を用いると、
　　　　　　1
　　－－－－－－－－－
　　√１＋(1/2)＋(1/3)
ですが、問題はr^2の最小値を求めるので、上を２乗すると、平方根がとれます。
すると、6/11となります。
No3の方法は私は確認していませんが、一致しましたね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
つぶれた球を考えるのでなく、球はつぶさないで平面を傾けて考えるわけですね。
正直に申し上げますと、３次元空間における平面の方程式とか、ましてやその平面と点との距離の公式についてわかっておりません。
ただ、ｘｙ平面での点（ｍ，ｎ）と直線　ａｘ+ｂｙ+ｃ＝0　の距離が
｜ａｍ+ｂｎ+ｃ｜／√（ａ＾2+ｂ＾2）
で与えられることとよく似ているので、おっしゃられることはなんとなく理解できた気になれます。
すらすらとこの回答ができる人にとってはいいでしょうけれど、やはり私にとってこの問題はかなりの難問でした。
ありがとうございました。

お礼日時：2004/09/12 03:17

No.5 回答者： Rossana 回答日時： 2004/09/12 01:23

>x^2+y^2≧2xy

>は、ｘ、ｙの正負に関係なく成立すると考えていいの
>ではないかと思いますがどうなんでしょうか
>（ｘ-ｙ）＾2＝x^2+y^2-2xy≧0　はｘ、ｙの正負に関
>係なく成立するので。
おっしゃられる通り，結果的に実際のところは，正負に関係なく成立します．
x^2+y^2≧2√(x^2y^2)＝2√{(xy)^2}＝2|xy|
と相加・相乗平均の関係を使っているので，
√{(変数)^2}＝|変数|というものが出てきて，このサイトでは適当に書かれても結構ですが，答案では丁寧に書いて欲しいというただそれだけです．

この回答への補足

かさねてありがとうございます。
修正を加えてみたのですが、チェックをお願いできませんでしょうか。
よろしくお願いします。
相加平均相乗平均の関係から
x^2+y^2≧2｜ｘｙ｜
ｙ^2+ｚ^2≧2｜ｙｚ｜
ｚ^2+ｘ^2≧2｜ｚｘ｜
左辺右辺それぞれ加えて
2x^2+2y^2+2ｚ＾2≧2｜ｘｙ｜+2｜ｙｚ｜+2｜ｚｘ｜
したがって
x^2+y^2+z^2＝（ｘ+ｙ+ｚ）＾2-（2ｘｙ+2ｙｚ+2ｚｘ）≧（ｘ+ｙ+ｚ）＾2-（2｜ｘｙ｜+2｜ｙｚ｜+2｜ｚｘ｜）≧（ｘ+ｙ+ｚ）＾2-2（x^2+y^2+ｚ＾2）
3（x^2+y^2+z^2）≧（ｘ+ｙ+ｚ）＾2＝1
∴x^2+y^2+z^2≧1／3

補足日時：2004/09/12 01:44

No.4 回答者： Rossana 回答日時： 2004/09/12 00:28

ANo.3の変数を減らす方針が一番安全策だと思います．

ちなみに,
ANo.1のお礼に書かれているものについて言わせて頂きますと，
x＋y＋z＝1という条件だけなので，x, y, zは正とは限りません．ですから,
>x^2+y^2≧2xy
>y^2+z^2≧2yz
>z^2+x^2≧2zx
は正しくなく，
x^2+y^2≧2|xy|
y^2+z^2≧2|yz|
z^2+x^2≧2|zx|
とする必要があると思います．
細かい所ですが，記述試験では減点対象になると思います．
√(変数)^2＝|変数|
であることに注意して下さい．

この回答への補足

ご意見ありがとうございます。
相加平均相乗平均の関係で
ｘ+ｙ≧2√ｘｙ
とやる場合はｘ、ｙはともに正という条件が必要なのはわかりますが、
x^2+y^2≧2xy
は、ｘ、ｙの正負に関係なく成立すると考えていいのではないかと思いますがどうなんでしょうか
（ｘ-ｙ）＾2＝x^2+y^2-2xy≧0　はｘ、ｙの正負に関係なく成立するので。

補足日時：2004/09/12 00:52

No.2 回答者： noname#8027 回答日時： 2004/09/11 22:18

X^2+Y^2+Z^2のときは、

X^2+Y^2+Z^2=r^2　とおくと、
r^2の最小値ということで、球体の最小半径は、平面に接する時と考える事ができます。

それでは、これを、x^2+2y^2+3y^2に応用するとどうなるでしょう。

この回答への補足

x^2+2y^2+3y^2=r^2　とおくと球がつぶれて、卵型みたいになるのでしょうか？
よくわかりません。

補足日時：2004/09/11 22:57

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2004/09/11 21:30

私なら、コーシー・シュワルツの不等式を使って解きますね。

(x^2+y^2+z^2の最小値の方も)


ところで、x^2+y^2+z^2の場合、相加相乗の不等式から分かった、との事ですが、どのように解いたんでしょうか？

x^2+y^2+z^2≧3(xyz)^(2/3)
(等号成立はx=y=z=1/3)
であるから、x^2+y^2+z^2は、x=y=z=1/3の時に、最小値となる。
よって、最小値は(1/3)^2+(1/3)^2+(1/3)^2=1/3

なーんていう解き方は間違いだと思いますよ。

この回答への補足

x^2+y^2+z^2　の最小値は以下のようにやりました。よろしくお願いします。
相加平均相乗平均の関係から
x^2+y^2≧2ｘｙ
ｙ^2+ｚ^2≧2ｙｚ
ｚ^2+ｘ^2≧2ｚｘ
左辺右辺それぞれ加えて
2x^2+2y^2+2ｚ＾2≧2ｘｙ+2ｙｚ+2ｚｘ
したがって
x^2+y^2+z^2＝（ｘ+ｙ+ｚ）＾2-（2ｘｙ+2ｙｚ+2ｚｘ）≧（ｘ+ｙ+ｚ）＾2-2（x^2+y^2+ｚ＾2）
3（x^2+y^2+z^2）≧（ｘ+ｙ+ｚ）＾2＝1
∴x^2+y^2+z^2≧1／3 (等号成立はx=y=z=1/3)
「コーシー・シュワルツの不等式」についてなにも知らないのですが、この問題に適用できるのですか？

補足日時：2004/09/11 22:48