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ボレル可測関数について

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質問者：mathstudent
質問日時：2017/10/15 14:51
回答数：1件

大学数学の質問です。

ルベーグ積分について本で学んでいるのですが、ボレル可測関数の証明について聞きたいことがあります。

例えば、f：R→Rに対して、f(x)=2x+1がボレル可測関数であることの証明は以下のようにすればいいのでしょうか？（Ｒは実数全体の集合です）

ボレル可測関数の定義を、B(R)をボレル集合族として、

「f：R→Rとして、任意の実数aに対して、{x∈R：f(x)>a}∈B(R)」

とします。

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（証明）

{x：2x+1>a}=((a-1)/2,+∞)となり、任意の開区間はボレル集合族B(R)に含まれるので、f(x)=2x+1はボレル可測関数である。
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連続関数がボレル可測であるという定理からは、f(x)=2x+1がボレル可測関数であることは自明だと思いますが、自分が正しくボレル可測関数の定義を理解しているか不安になり質問しました。

よろしくお願いします。