三角比と図形 「∠Ａ=60°のとき、(c/a＋b)＋(b/a＋c)の値を求めよ。」 という問題につい

三角比と図形

「∠Ａ=60°のとき、(c/a＋b)＋(b/a＋c)の値を求めよ。」

という問題について、発想が出てこないのですが、アドバイスをお願いします

質問者からの補足コメント

• ｛c/(a＋b)｝＋｛b/(a＋c)｝でした

    補足日時：2017/10/27 06:13

No.4 ベストアンサー 回答者： kawano_medaka 回答日時： 2017/10/29 15:27

私は、幾何の問題を解くのに興味がありますが、低学歴ですので公理等は不得手です。

クラシックな方法でやつています。図形が描ければ正解はそこにあると思います。
今回は三角形と角度60°の情報でa,b,cの関係を出すということ。角度と辺に注目し直角三角形で辺の比率がでることに気が付いた次第です。以上です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2017/11/03 10:33

No.3 回答者： kawano_medaka 回答日時： 2017/10/27 21:11

なるべく簡潔に答える。

(1)の図で補助線ｄを引くと、次の式が成り立つ。
　　直角三角形を形成するので、その三辺の比は1：√3：2であるので
　　ｄ＝ｂ√3/2、もう一辺はｂ/2となり、次の式が成り立つ。
　　a²＝(√3/2ｂ)²-(c-b/2)²
(2)の図で
　　ｅ＝ｃ√3/2
　　a²＝(√3/2ｃ)²-(b-c/2)²
　(1),(2)より　(√3/2ｂ)²-(c-b/2)²＝(√3/2ｃ)²-(b-c/2)²
　　(3/4)b²-c²-bc-b²/4=(3/4)c²-b²-bc-c²/4
　　b²(3/4-1/4+1)=c²(3/4-1/4+1)
　　ｂ＝ｃ　　図でも分る通りa=b=c　確認のため(1)式に代入すると
　　a²=(3/4)b²-b²+b²-c²/4=b²(3/4-1+1+1/4)=b²
　　a=b
　　これにより｛c/(a＋b)｝＋｛b/(a＋c)｝=1/2+1/2=1

この回答へのお礼

この解答を思い付くポイントを教えていただけるとありがたいのですが…

お礼日時：2017/10/29 14:45

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/10/26 19:03

(c/a＋b)＋(b/a＋c)　って

(c/a＋b)＋(b/a＋c)
= (c/a) + b + (b/a) + c

ということになりますが、それでよいのですか？

ひょっとして

　c/(a + b) + b/(a + c)

と言いたい？

だったら、通分すれば

　c/(a + b) + b/(a + c)
= (ca + c^2 + ab + b^2)/[ (a + b)(a + c) ]　　　①

になる。

三角形 ABC のどこが a, b, c なのか分からないけど、∠A の対辺の長さが a なら、余弦定理から
　a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos∠A
　　　= b^2 + c^2 - 2bc*cos(60°)
　　　= b^2 + c^2 - bc
という関係が使えるので、①の続きは

　c/(a + b) + b/(a + c)
= (ca + c^2 + ab + b^2)/[ (a + b)(a + c) ]
= (a^2 + ab + bc+ ca) / (a^2 + ab + bc + ca)
= 1

ということになりますが。


最初の式が違っていたら、そういうことにはなりませんけどね。

この回答へのお礼

yhr2様の式であっております。
あと、なぜ最初に通分するのでしょうか？やはり、そうすればうまく行くという経験的な理由からなのでしょうか？

お礼日時：2017/10/29 17:42

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2017/10/26 17:46

abcは各辺の長さ？

∠Aをなす辺は？
そのあたりの説明が無いと…

なお、c/aと言うのは比であって、これに+bと言うのは、
「単位無しの比に、長さ(単位有)を足す」と言う矛盾した計算です。
例えば、長さを[cm]とするか[m]とするかでも、答えは変わるでしょう。

「問い」の内容を再度ご確認ください。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2017/11/03 10:33