1問目はtの式にして恒等式を用いて示すで合ってますか？ あと、2問目が分からないので教えて下さい。

1問目はtの式にして恒等式を用いて示すで合ってますか？
あと、2問目が分からないので教えて下さい。

No.1 回答者： springside 回答日時： 2017/11/10 21:09

(1)

違います。

①の式にx=1,y=2を代入すると、
(t+1)+2-t-2=0
となるが、この式を整理すると、1=0となり、これは不合理である。
よって、lは点(1,2)を通らない。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/11/11 09:17

②から①x(t+3)を引けば、x, t の関係が求まるよね?

同様に
②x(t+1)から①x(2t+1)を引けば、yとtの関係が求まるよね?

xとyをtで表わせばそれが答です。

No.3 回答者： springside 回答日時： 2017/11/11 11:55

(2)です。

①、②をxとｙの連立方程式として解くと、
x=(t²+t+3)/(t²+2t+2), y=(2t²+2t+1)/(t²+2t+2)となる。
（なお、分母=t²+2t+2=(t+1)²+1であるから、分母は常に正であって、0にはならない）

ここで、x=1-(t-1)/(t²+2t+2)、y=2-(2t-3)/(t²+2t+2)であるから、
(x-1)²+(y-2)²=(t-1)²/(t²+2t+2)² + (2t-3)²/(t²+2t+2)²
=(5t²+10t+10)/(t²+2t+2)²
=5/(t²+2t+2)　※1

また、x+y=(3t²+3t+4)/(t²+2t+2)
={3(t²+t+3)-5}/(t²+2t+2)
=3(t²+t+3)/(t²+2t+2) - 5/(t²+2t+2)
=3x - 5/(t²+2t+2)
よって、5/(t²+2t+2)=3x-(x+y)=2x-y　※2

※1、※2より、tを消去して、
(x-1)²+(y-2)²=2x-y
x²-4x+y²-3y+5=0
(x-2)²+(y-3/2)²=5/4　※3
となり、これが交点の軌跡の方程式である。
ただし、※3は点A(1,2)を通るので、答は、
「点(2,3/2)を通り、半径(√5)/2の円。ただし、点(1,2)を除く」である。

No.4 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2017/11/11 12:03

補足です。

x=1-(t-1)/(t²+2t+2)、y=2-(2t-3)/(t²+2t+2)なので、x=1,y=2になるためには、t=1とt=3/2が
同時に成り立たないとだめですが、それはあり得ないので、交点の軌跡から点(1,2)は除かれます。
（参考：t→±∞のとき、x→1、y→2なので、点(1,2)は極限値として近づく先の点ということになります）

なお、No.2さんのように、xとyをtで表しただけでは、それは軌跡とは言えないので、ダメです。