連続投稿すいません。。解き方がわかりません。よろしくお願いします。 #高校数学 #数B

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#高校数学 #数B

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2018/01/02 22:54

https://mathtrain.jp/ar
公比倍してずらす方法で！

この回答へのお礼

なるほど！

お礼日時：2018/01/03 07:31

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2018/01/02 23:52

( x^n )'=n・x^n-1 ,x=3 だから

Σ 1…n x^k=x+x^2+x^3………+x^n=x(1ーx^n)/(1ーx)

両辺を微分すれば、
Σ 1…n k・x^k-1=｛(1ーx)(1ー(n+1)x^n)+x(1ーx^n)｝(1ーx)^2
=｛ 1ー(n+1)x^n +nx^n+1 ｝/(1ーx)^2
ここで、x=3とすればいいので、
Σ 1…n k・3^k-1 =｛ 1ー(n+1)3^n +n・3^n+1 ｝/(1ー3)^2
=(2ー3^n )/4 となるが！？

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2018/01/09 11:12

解法3)はわかりやすいが、ミスをし易い

別2)は、微分さえ、間違えなければ、後はミス少なく、無限級数には、有効！
解法1)は、注意点はあるが、マスターすれば、計算ミスしにくい！
私も、この方法の答えが一番正確だった！
別2) 微分法
Σ 1…n x^k =x(1-x^n)/(1-x) 微分して
Σ kx^k-1=｛ (1-x)(1-(n+1)x^n )+x(1-x^n )｝/(1-x)^2
=｛1-(n+1)x^n +n x^n+1 ｝/(1-x)^2

ここで、x=3とおけば、
(1)=Σ 1…n x 3^x-1=｛ 1-(n+1)3^n +n 3^n+1｝/4
=｛ (2nー1)3^n +1｝/4 …Ans

解法3) 公比倍
(1)=3+2・3^2 +3・3^3+………+n3^n
3・((1))=3^2 +2・3^3+………+(n-1)3^n+n3^(n+1)
∴ (1-3)((1))=3+3^2+3^3+………+3^n ーn3^(n+1)
=3(3^n ー1)/(3-1) ーn3^(n+1)
∴ ((1))=｛ 3(3^n ー1)/2 ーn3^(n+1)｝/( ー2)
よって、与式=((1)) /3
=｛ 3(3^n ー1)/2 ーn3^(n+1) ｝/( -6)
= (1ー3^n +2n3^n )/4
=｛((2nー1)3^n +1 ｝/4…Ans

解法1)
【1】=Σn…1・x 3^(x-1) において、f(x)=x ,⊿f(x)=1
⊿g(x)=3^(x-1) ,g(x)=∫ 3^(x-1)⊿x=3^(x-1) /(3-1)=(1/2)3^(x-1) ,g(x+1)=(1/2)3^x

【1】=［ x(1/2)3^(x-1) ］n+1→1 ー∫ 1・(1/2)3^x ⊿x
=(n+1)3^n /2ー1/2ー(1/2)［3^x /(3-1) ］n+1→1
=(n+1)3^n /2 ー1/2 ー(1/4)3^(n+1) +3/4
=｛ (n+1)/2 ー3/4 ｝3^n +1/4
=(2nー1)3^n /4 +1/4 …Ans
または、
(1/3)Σ n…1 x3^n =【2】において、f(x)=x ,⊿f(x)=1
⊿g(x)=3^x ,g(x)=∫ 3^x ⊿x=3^x /(3-1)=(1/2)3^x ,g(x+1)=(1/2)3^(x+1)

【2】=(1/3)｛ ［ x(1/2)3^x ］n+1→1 ー∫ n…1 1・(1/2)3^(n+1) ⊿x ｝
=(1/3)｛ (n+1)(1/2)3^(n+1) ー 3/2 ー［ (1/4)3^(x+1) ］n+1→1
=(1/3) ｛ (n+1)(1/2)3^(n+1) ー3/2 ー(1/4)3^(n+2) +(1/4)3^2 ｝
=(n+1)(1/2)3^n ー1/2 ー(1/4)3^(n+1) +3/4
=2(n+1)3^n /4 ー2/4 ー(1/4)3^(n+1) +3/4
=(1/4)｛ 2(n+1)3^n ー3・3^n +1 ｝
= (2nー1)3^n /4 +1/4 …Ans