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No.3
- 回答日時:
2nになっているのは項の数だからでしょうね。
1 +1/3 +1/3² + … +1/3^(n-1) :項の数はn個
1/2 +1/2² +1/2³ + … +1/2^n :項の数はn個
つまり、
1 +1/2 + … +1/3^(n-1) +1/2^n + …
という無限級数において、
1/2^n が第2n項というわけです。
さて、わからないのは計算部分だと思うので解説をしておきます。
S=1+a²+a³ という式があったとします。
両辺 1-a をかけてみると
S・(1-a) =(1+a²+a³)(1-a) =1+a²+a³ -(a²+a³+a⁴) =1-a⁴
となるのだから
S=(1-a⁴)/(1-a)
と表すことができます。
これを拡張すると、
S=1+a²+ … +a^(n-1)
ならば、
S=(1 -a^n)/(1-a)
と式変形できることがわかります。
したがってこれを適用すると
1 +1/3 +1/3² + … +1/3^(n-1) =(1 -1/3^n)/(1 -1/3)
1/2 +1/2² +1/2³ + … +1/2^n
=1/2・{1 +1/2 +1/2²+ … +1/2^(n-1)}
=1/2・(1 -1/2^n)/(1 -1/2)
となるわけです。
よってこれらを計算して
S[2n]=(1 -1/3^n)/(1 -1/3) +1/2・(1 -1/2^n)/(1 -1/2)
=3/2 ・(1 -1/3^n) +(1 -1/2^n)
さて、これは2n項までの和なので、1項違いの2n-1項までの和も考えます。
すると、第2n項が足りないだけなので
S[2n] -S[2n-1]=1/2^n
ということは明らかです。
あとはこの二つの極限を考えるだけとなります。
さて、なぜ二つの極限を考えるのかですが、
要するに、奇数項と偶数項で違いがあるのかを調べているだけなのです。
すなわち、
一致する場合は収束する
一致しない場合は発散する
というわけです。
n→∞ とするとき、nが奇数か偶数かで収束値が変化したら
収束したとは言えませんからね。
これらを踏まえて、もう一度復習してみてください。
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