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他の方の質問(高校生か高校受験生)で下記のようなものが有りました。
(4),(5)は同じことを言っていて
ac<0(a>0の時c<0、a<0の時c>0なので)
と考えたのですが合っていますでしょうか。
また合っているとしたら(3),(6)はこの様な簡単な式で表すことができるでしょうか。

問題
y=ax^2+bx+c (aは0ではない)の特性をa,b,cを用いて表わせ。
(1) x軸と1点を共有する
(2) x軸と2点で交わる
(3) x軸の正の部分と2点で交わる
(4) x軸の正と負の部分の両方で交わる
(5) 全ての象限を通る
(6) 第1象限、第2象限を通らない

質問は下記です。こちらに直接回答していただいても結構です。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10358744.html

よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

  • うーん・・・

    (3)
    ac>0かなと考えたのですが、これではx軸の負の部分でも2点で交わってしまいます。
    (-b-√(b^2-4ac)/(2a)>0
    より簡単にはなりませんか。

    (6)
    a<0かつb^2-4ac<0
    とするしかないですか。

      補足日時:2018/03/15 15:23
  • うれしい

    Tacosan様
    象限に軸は含まれませんでした。
    ありがとうございます。

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2018/03/15 16:08
  • HAPPY

    皆様回答いただきありがとうございます。
    下記の通り回答いたしましたのでご報告します。
    https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10358744.html
    本当にお世話になりました。

      補足日時:2018/03/17 06:57

A 回答 (6件)

(4)(5)は同じですね。

そしてac<0でよいです。
(3)はb²/(ac)>4 かつab<0
(6)はやはりa<0、b²-4ac<0 でしょう。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
(3)は
ac>0と判別式からb^2/(ac)>4

頂点のx座標>0
-b/(2a)>0
b/a<0 両辺にa^2を掛けて
ab<0
でよろしいでしょうか。

お礼日時:2018/03/15 21:00

№5です。


>(4)はa>0の時c<0 かつ a<0の時c>0
>(5)はa>0の時c<0 または a<0の時c>0
>と言うことなのでしょうか。
そうです。
>ac<0と書いた場合はどちらになるのでしょうか。
a>0の時c<0 または a<0の時c>0で条件を満たすので
(5)です。ac<0はa>0の時c<0 または a<0の時c>0の必要条件です。
      a>0の時c<0 または a<0の時c>0はac<0の十分条件です。
(4)はaが正の時も負の時も、正と負に根を持たなければいけないので
   このような表現になります。
   ac<0はa>0の時c<0 かつ a<0の時c>0の必要条件です。
   a>0の時c<0 かつ a<0の時c>0はac<0の十分条件ではありません。
   a>0の時c<0でac<0となるからです。
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この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございます。お礼が遅くなり申し訳ありません。
必要条件・十分条件を1から勉強し直しました。(40年以上前に習って、それから使ったことが無かったので。)

お礼日時:2018/03/16 16:02

№2です。

(4)と(5)は違います。
(4) x軸の正と負の部分の両方で交わる はaが正でも負でもx軸の正と負の部分の両方で交わらなければなりません。
(5) 全ての象限を通る はaが正の場合か負の場合か、片方の場合を示せば良い。
  (5)は(4)の条件の一部になります。
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この回答へのお礼

朝の忙しい時に回答いただきありがとうございます。

(4)はa>0の時c<0 かつ a<0の時c>0
(5)はa>0の時c<0 または a<0の時c>0
と言うことなのでしょうか。
ac<0と書いた場合はどちらになるのでしょうか。

お忙しいところ申し訳ありませんが、よろしくお願いいたします。

お礼日時:2018/03/16 10:17

No.3です。


お礼についてはそのとおりです。ただし逆に
b²/(ac)>4からac>0、b²-4ac>0 が出てくることに注意してください。
(この2式を統合したかったからb²/(ac)>4と書いたのです笑)
あと(6)は頂点がx軸上にあってもよいのでa<0、b²-4ac≦0でしたスイマセン。
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この回答へのお礼

度々回答ありがとうございます。
b²/(ac)>4の件、了解しました。
昨日からのモヤモヤがスッキリしました。
今日は早く寝ます。おやすみなさい。

お礼日時:2018/03/15 23:09

y=ax^2+bx+c (aは0ではない)の特性をa,b,cを用いて表わせ。

ー二次曲線ですねー
(1) x軸と1点を共有する⇒y=D(X+A)^2=DX^2+2ADX+DA^2よりD=a, 2AD=b=2aA A=b/2a, DA^2=c=a・b^2/4a^2から
            y=a(X+b/2a)^2
(2) x軸と2点で交わる⇒y=ax^2+bx+c=0で実数解を持つ。この時x=-b±√b^2-4ac/2a で b^2-4ac>0
(3) x軸の正の部分と2点で交わる⇒y=ax^2+bx+c=0で正の実数解を持つ。この時x=-b±√b^2-4ac/2a>0 かつ b^2-4ac>0
(4) x軸の正と負の部分の両方で交わる⇒y=ax^2+bx+c=0で正の実数解を持つ。この時x=-b+√b^2-4ac/2a>0か
  x=-b-√b^2-4ac/2a<0 かつ b^2-4ac>0または、x=-b+√b^2-4ac/2a<0か
  x=-b-√b^2-4ac/2a>0 かつ b^2-4ac>0

(5) 全ての象限を通る⇒y=ax^2+bx+c a>0の時上に開いた二次曲線なので、切片cをc<0とすると全ての象限を通る。a>0かつc<0
                   a<0の時下に開いた二次曲線なので、切片cをc>0とすると全ての象限を通る。a<0かつc>0

(6) 第1象限、第2象限を通らない⇒y=ax^2+bx+c a<0の時下に開いた二次曲線。y’=2aX+b 頂点で2aX+b=0 X=-b/2a この時の
  y座標は(-b)^2/4a+-b^2/2a+c 頂点のy座標が(-b)^2/4a+-b^2/2a+c<0の時、 第1象限、第2象限を通らない。よって
  (-b)^2/4a+-b^2/2a+c<0かつa<0
           
以上
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
私の補足の(3)に大前提のb^2-4ac>0が抜けてましたね。
ところで、(5)を満たせば(4)も満たされると思うのですが、(4)と(5)で表現を変える必要は有るのでしょうか。
よろしくお願いいたします。

お礼日時:2018/03/15 16:58

(6) はちょっとだけ違う. (3) も 2つの条件で書くのが普通かな.

この回答への補足あり
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この回答へのお礼

早々の回答ありがとうございます。
すいません、(6)は軸上も良しとして、b^2-4ac≦0で良いでしょうか。

お礼日時:2018/03/15 15:42

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