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y=ax*2+bx+c(a≠0)のグラフが次の性質を持つための条件をabcで表すという問題を教えてください。

「y=ax*2+bx+c(a≠0)のグラフ」の質問画像

A 回答 (4件)

y=ax²+bx+c (a≠0)


=1/4a {4a²x²+4abx+4ac}
=1/4a {(2ax+b)²-(b²-4ac)} ... (ア)
(1) x軸と1点を共有するのですから放物線がx軸に接することになります。
その為には、式(ア)の後半が0であればいいことになります。
つまり
b²-4ac=0
いわゆる判別式です。

(2) x軸と2点で交わる為には式(ア)の { } 内が実数式の積で因数分解できる必要があります。つまり {A²-B²} の形になります。その為には後半が負である必要があります。
つまり
-(b²-4ac)<0
b²-4ac>0
となります。

(3) (2) の条件に加えて、左の交点のx座標が正である必要があります。
{-b-√(b²-4ac)}/2a>0
かつ
b²-4ac>0

(4) 解と係数の関係から2つの解の積が負であればよいことが判ります。
つまり
c/a<0 //
これだけで充分です。何故なら
b²-4ac=b²+4a²(-c/a)>0
となり (2) の条件は既に満たしているからです。
a²>0 なので
ac<0
でも構いません。

(5) は (4) と同値です。つまり
ac<0

(6) 上に凸で頂点のy座標が負ですから
a<0
かつ
b²-4ac<0
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No.2です。


回答を書くにあたり、下記質問をして他の方のお知恵も拝借しました。
参考にしてください。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10362461.html

(1)
重根を持つと言うことなので、判別式
b^2-4ac=0(^2は2乗のことです。)

(2)
2つの実数解を持つと言うことなので、判別式
b^2-4ac>0

説明の都合上(3)は後で

(4),(5)
(4)は(5)を含んでいます。

普通に考えれば
(4)
二次方程式の解の公式より
b^2-4ac>0 かつ {-b-√(b^2-4ac)}/(2a)<0 かつ {-b+√(b^2-4ac)}/(2a)>0

(5)
グラフより
a>0の時c<0(下に凸でy切片が負)
または
a<0の時c>0(上に凸でy切片が正)
上の2つをまとめて書くと
ac<0

(4)を(5)のように書くと
a>0の時c<0(下に凸でy切片が負)
かつ
a<0の時c>0(上に凸でy切片が正)


(3)
二次方程式の解の公式より
b^2-4ac>0 かつ {-b-√(b^2-4ac)}/(2a)>0

グラフから考えると
(b^2)/(ac)>4 かつ ab<0
【説明】
b^2-4ac>0…③
かつ
a>0の時c>0(下に凸でy切片が正)
a<0の時c<0(上に凸でy切片が負)
これをまとめて書くと
ac>0…④
③、④より
(b^2)/(ac)>4

これだけでは、(y切片を決めただけでは)y軸に対象なグラフも含まれるので
頂点のx座標
-b/2a>0
https://mathtrain.jp/jikutyoten参照)
b/a<0
両辺にa^2を掛けて
ab<0


(6)
軸は象限に含まれないので
「第1象限、第2象限を通らない」はx軸を含みます。
従って
a<0 かつ b^2-4ac≦0(上に凸で重根または虚根を持つ)
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なかなか考えさせられる問題ですね。


昨日から考えていますが、まだスッキリしません。
質問を締め切らないでお待ち下さい。
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それぞれ、別の言葉や数式を使ったら、どう表現できるか、を考えてみましょう。



例えば
・ x軸というのは y=0 のことです。

よって、
(1) x軸と1点を共有する
 は
(1') y=0=ax^2+bx+c を満す点が一つだけある
 となります。
これだと、おなじみの「二次方程式の実数解の存在確認」の問題となります。


他の問題も
・x軸が関係するものばかりですから、 y=0=ax^2+bx+c のときの解の存在、および重解か否か、が関係します。
・x軸との交点の x座標 というのは、 y=0 のときの y=ax^2+bx+c の x座標、つまり、0=ax^2+bx+c の解、ということになります。
交点の位置について言及のある問題は、解がどの範囲にあればいいかを考えます。
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