数2の問題 式と証明

a+b+c=1,1/a+1/b+1/c=1の時、a.b.cのうち、少なくとも１つは１であることを証明せよ、が解けません
よろしくお願いします！

No.1 ベストアンサー 回答者： Dr-Field 回答日時： 2019/02/08 22:52

恒等式 (x-a)(x-b)(x-c)＝x^3－(a+b+c)x^2＋(ab+bc+ca)x－abc を考える。

この恒等式の (左辺)＝0 とした方程式の解は、x＝a,b,c の３つである。
ところで、条件より、1/a+1/b+1/c=1 → (ab+bc+ca)／abc＝1 → ab+bc+ca＝abc と a+b+c＝1を(右辺)に代入する。
(右辺)＝x^3－x^2＋(ab+bc+ca)x－(ab+bc+ca)
＝x^2(x－1)＋(ab+bc+ca)(x-1)
＝(x－1){x^2＋(ab+bc+ca)}
これは、(右辺)＝0 なる方程式の解の少なくとも一つは x＝1 であることを意味する。
以上から、(x-a)(x-b)(x-c)＝0 の方程式において、その方程式の解である a か b か、もしくは c の少なくともどれか一つは1であることが示された。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/09 01:45

a,b,cのうち少なくともひとつは１である...って、

(a-1)(b-1)(c-1)=0 の状況だと思いません？
与えられた式から、これが導けないかやってみましょう。
(a-1)(b-1)(c-1) は a,b,c の対称式なので、
基本対称式の多項式で表せそうです。
実際、(a-1)(b-1)(c-1) = abc - (ab + bc + ca) + (a+b+c) - 1 です。
与えられた式のほうは
a+b+c = 1 と 1 = 1/a + 1/b + 1/c = (bc + ca + ab)/abc なので、
これらを使うと、
(a-1)(b-1)(c-1) = {abc - (ab + bc + ca)} + {(a+b+c) - 1} = 0+ 0 = 0
が判ります。

答案は逆順の流れで書いた方がいいですね。
a,b,c の基本対称式を s1 = a+b+c, s2 = ab+bc+ca, s3 = abc と置く。
所与の条件 a+b+c=1, 1/a+1/b+1/c=1 は、これらを使って
s1 = 0, s2/s3 = 1 と書ける。
ところで、(a-1)(b-1)(c-1) = abc - ab -bc - ca + a + b + c - 1
= (s3 - s2)+ (s1 - 1) = 0 であるから、
a-1,b-1,c-1 のうち少なくともひとつは 0 である。
すなわち、a,b,c のうち少なくともひとつは 1 である。