数学2 軌跡の問題について なぜxの範囲を求めるのでしょうか。 教えて下さい。お願いします。 不明点

数学2 軌跡の問題について
なぜxの範囲を求めるのでしょうか。
教えて下さい。お願いします。

不明点に矢印つけています。


放物線y=x^2と直線y=m(x+2)は異なる二点P,Qで交わるとする
mの値が変化するとき、線分P,Qの中点Mの軌跡を求めよ


まず、異なる2点で交わる条件を求めると
y=x^2とy=m(x+2)を連立して
x^2-mx-2m=0

異なる2点で交わるので判別式が正であればよいので
D=m^2-4*(-2m)>0
m<-8,0<m

次に異なる2点P,Qのx座標をα、βとすると、
P(α,α^2)、Q(β,β^2)
PQの中点Mの座標はM(x,y)=((α+β)/2,(α^2+β^2)/2)

ここでα、βはx^2-mx-2m=0の解だから、
解と係数の関係から、α+β=m,αβ=-2m

α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=m^2-2(-2m)=m^2+4m

これをMのx,y座標に代入すると
x=m/2
y=(m^2+4m)/2

x=m/2を変形してm=2xをy=(m^2+4m)/2に代入して

y={(2x)^2+4(2x)}/2
=2(x+1)^2-2


ここ↓↓
最後にxの取りうる範囲を求めます。x=m/2で、m<-8,0<mだから、
xの取りうる範囲はx<-4,0<x
↑↑

答え、Mの軌跡は頂点(-1,-2)で下に凸の放物線y=2(x+1)^2-2を描く
ただし、xのとりうる範囲はx<-4,0<x

No.1 ベストアンサー 回答者： コルナゴ 回答日時： 2018/02/13 21:21

仮にXがすべての実数を取るとしましょう！そうしたらどうなりますか？

X=m/2なのでmも全ての実数をとる

あれ？そうすると、mは判別式で求めた範囲以外の値も取ることになり1点でしか交らないところが出てしまいますよね！
なので「なぜxの範囲を求めるのか」というより「mの値が決まっているからxの値も決まるということ」です

この回答へのお礼

やっと理解できました
ありがとうございました

お礼日時：2018/02/14 12:06

No.2 回答者： snapora2 回答日時： 2018/02/14 08:15

式ではなくグラフで考えると視覚的に一目瞭然です。

与えられた式のうち直線は(-2,0)を通りグルグル回る直線、それが「その直線より上にある放物線と接する」のだから、ある範囲を超えると接しなくなってしまう、ぎりぎり接する範囲を判別式で傾きmとして求めたのがm<-8,0<mであり、この接点のx座標（のとりうる範囲）を示したのがx<-4,0<xです。どちらもＰとＱが存在しうる条件で、同じことです。

直線の定点が放物線より上なら（たとえば(0,2)を通るなら、判別式は負にならず）交点は必ず二つ存在し（ＰとＱ）、xのとりうる範囲は無限になります。グラフを描いて何を聞かれているかに立ち戻ることです。

この回答へのお礼

今後はグラフに落としてから考えるようにします。
ありがとうございました。

お礼日時：2018/02/14 12:09