係数に虚数を含む二次方程式の解

Question

（1＋i)x^＋（a－1)x＋２（１－ai)=0 が実数解をもつような、ｘを求めよという問題でまず、実部と虚部に分けて連立方程式を作りました。
r^ーr－２a=0
r^＋ar＋2=0
上の式から下の式を引いて、(r＋2)(a＋１）＝0となり、そこから、a=－１の時とr=－２の時の場合分けを作る　という一連の解法は知っているのですが、その理屈が分かりません。なんで場合分けが発生しているのでしょうか。もともと、（r＋2）（a＋1）＝０は、連立方程式から出てきたものなのにどうしてa=－1の時は連立方程式の値を満たさないのかわかりません。
かなりアバウトな疑問になってしまう申し訳ないのですが、こういうことかな？ということでもいいので、回答よろしくお願いします。

Ku-Mei · Accepted Answer

No. 1 の方が聞いていますが、おそらく２乗の２が抜けているのだろうと思います。
その前提で、回答します。

まず、初めの理屈が分かりませんという部分について。
２つの複素数 a + b i と c + d i が等しい、すなわち
　　a + b i = c + d i　ということは、
a = c と b = d が同時に成り立つことです。
同じことですが、
　　(a - c) + (b - d)i = 0 (= 0 + 0 i)
より、a - c = 0 と b - d = 0 が同時に成り立つことです。
これが、理屈の部分です。

このことを踏まえると、実部、虚部がともに０になる必要があることから、問題の方程式を整理して、
　　(x^2 + ax + 2) + (x^2 - x - 2a)i = 0
となり、実部、虚部がともに０となることから、次の連立方程式が得られます（あなたが得たように）。
　　x^2 + ax + 2 = 0
　　x^2 -  x - 2a = 0

次の、場合分けがおきるのはなぜかということについて。
あなたがしたようにすると、
　　(x + 2)(a + 1) = 0
が得られます。
この式は、連立方程式が解を持つための必要条件を表しています（この式が成り立たないならば、連立方程式は解を持たない）。必要条件ですから、後は、それぞれの場合について、解を持つかどうかを確かめる必要があります。ということで、それぞれ確かめなければならないということです。

最後の、a = - 1 のときは、なぜ解とならないかということについて。
上に書いたことから、明らかだと思いますが、a = - 1 の場合について確かめる必要があります。これを連立方程式に代入して計算すると、
　　x^2 - x + 2 = 0
が得られます（両方から同じものが得られる）。この２次方程式の判別式Dを取ると、
　　D = (- 1)^2 - 4*1*2 = - 7 < 0
となりますから、元の方程式は、実数解を持ちません。
つまり、問題の実数解を持つという条件を満たしません。
したがって、a = - 1  は条件を満たさないから、捨てる、ことになります。

sc348253 · Answer

例題として、例えば、xーa＞0かつxーb＞0 と(xーa)(xーb)＞0は同じでしょうか？
違うことがわかると思います！集合で考えるとわかりやすいのではないでしょうか？
前者は後者の答えの一つですね！

sc348253 · Answer

xとrが混在していますから、xで統一します。また、
(1+i)x^2+(aーi)x+2(1ーai)=0 で解説します。

与式=x^2+ax+2+(x^2ーxー2a)i=0
   実数部=x^2+ax+2    …(1)
   虚部   =x^2ーxー2a  …(2)
実数部ー虚部=(aー1)(2+x)=0
ここで、
aー1=0の場合、(1),(2)に代入すると
(2)=x^2ーxー2
(1)=x^2+x+2=(x+1/2)^2+7/2  ＞0
これは、与式=0を満たしません！
本来、実数部=0,虚部=0をみたすものが答えですが、
このままでは、すすみませんので、仕方なく
=0 同志を引いているわけです。でも、そうした場合の結果は
全て正しいわけではないのです。それは、必要条件で、十部ではないので、
確認が必要なわけです。貴方も、必要条件、十分条件を習ったと思います。
そのことが、きちんと理解できていたら今回の疑問がわかなかったでしょう！

Tacosan · Answer

まず確認.

「x^」ってなんですか? あと, 「（1＋i)x^＋（a－1)x＋２（１－ai)=0 が実数解をもつような、＊ｘ＊を求めよ」という問題だとすると, 前の方程式は「a に関する方程式」に見えてしまうんだけど, それでいい?

係数に虚数を含む二次方程式の解

例題として、例えば、xーa＞0かつxーb＞0 と(xーa)(xーb)＞0は同じでしょうか？

xとrが混在していますから、xで統一します。

No. 1 の方が聞いていますが、おそらく２乗の２が抜けているのだろうと思います。

まず確認.

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