①x,yが実数全体を動くとき、 関数Q=x²-8xy+17y²+6x-30y+10の最小値を求めよ。

①x,yが実数全体を動くとき、
関数Q=x²-8xy+17y²+6x-30y+10の最小値を求めよ。

②x≧0,x≧0,2x+y=1のとき、2x²+y²の最大値と最小値を求めよ。

③関数f(x)=x²-2ax+2a²-1がある。ただし、0≦x≦1とする。
⑴f(x)の最小値mをaを用いて表せ。
⑵m=1のとき、aの値を求めよ。

④aを定数とする関数f(x)=2x²-6x+7(a≦x≦a+1)の最大値をMとする。
⑴Mをaを用いて表せ。
⑵Mの最小値を求めよ。

4つの問題の解説お願いします。
どれか1つでも構いません!!

No.2 ベストアンサー 回答者： Dr-Field 回答日時： 2019/03/11 19:46

【１】

Q＝x^2－8xy＋17y^2＋6x－30y＋10
＝x^2＋(6－8y)x＋17y^2－30y＋10
＝{x＋(3－4y)}^2－(3－4y)^2＋17y^2－30y＋10
＝{x＋(3－4y)}^2－(9－24y＋16y^2)＋17y^2－30y＋10
＝{x＋(3－4y)}^2－9＋24y－16y^2＋17y^2－30y＋10
＝{x＋(3－4y)}^2＋y^2－6y＋1
＝{x＋(3－4y)}^2＋(y－3)＾2－9＋1
＝{x＋(3－4y)}^2＋(y－3)＾2－8
だから、y＝3、かつ x＝4y－3＝9の時にQは最小値－8をとる。


【２】2x＋y＝1より、y＝1－2x、なお、y≧0だろうから、1－2x≧0 → 0≦x≦1/2、0≦y≦1

f(x,y)＝2x^2＋y^2＝2x^2＋(1-2x)^2＝2x^2＋4x^2－4x＋1＝6x^2－4x＋1
＝6{x^2－(2/3)x＋(1/9)}－2/3＋1
＝6{x－(1/3)}^2＋(1/3)

よって、f(x,y)の最小値は x＝1/3、y＝1/3 の時の 1/3
最大値は x＝0、y＝1 の時の 1


【３】
f(x)＝x^2－2ax＋2a^2－1＝(x－a)^2＋a^2－1
放物線の軸はx＝a、頂点は(a、a^2－1)である。
(1)
(i)a≦0 のとき、m＝f(0)となるので、m＝2a^2－1
(ii)0＜a≦1 のとき、m＝f(a)となるので、m＝a^2－1
(iii)1＜a のとき、m＝f(1)となるので、m＝2a^2－2a
(2)
(i)a≦0 のとき、m＝2a^2－1＝1 → 2a^2－2＝0 → (a＋1)(a－1)＝0 → a＝±1、a≦0の条件より、a＝－1 のみが適格。
(ii)0＜a≦1 のとき、m＝a^2－1＝1 → a＝±√2、これは 0＜a≦1 の条件に合わず、不適格。
(iii)1＜a のとき、m＝2a^2－2a＝1 → 2a^2－2a－1＝0 → a＝(1±√3)／2、1＜a を考慮すると、a＝(1＋√3)／2のみが適格。
以上より、a＝－1、(1＋√3)／2 が答えとなる。


【４】
(1)
f(x)＝2x^2－6x＋7＝2{x－(3/2)}^2＋5/2 と変形できるので、この放物線の軸は x＝3/2、頂点は (3/2、5/2)。
(i)a＜1の場合、M＝f(a)＝2a^2－6a＋7
(ii)1≦aの場合、M＝f(a+1)＝2(a+1)^2－6(a+1)＋7＝2a^2＋4a＋2－6a－6＋7＝2a^2－2a＋3
(2)
(i)a＜1の場合、M＝2a^2－6a＋7＝2{a－(3/2)}^2＋5/2 a＜1を考慮すれば、M＞3
(ii)1≦aの場合、M＝2a^2－2a＋3＝2{a－(1/2)}^2＋5/2 1≦aを考慮すれば、M≧3
故に、Mの最小値は3、この時のaの値は1

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございました！
参考にさせていただきます!!

お礼日時：2019/03/11 19:47

No.1 回答者： 銀鱗 回答日時： 2019/03/11 19:28

１．は円（楕円）だね。

２．は「y≧0」とすべきところを間違えているような気がする…極値をｘ、ｙそれぞれに入れた場合を考えてみよう。
３．４．まあ数式が示すグラフをイメージしてください。そのグラフのどの場所が条件と一致するかを考えましょう。

・・・余談・・・

…というか、全部どんな事を示す式なのかをイメージできれば難しくないぞ。（←これ数学において一番重要）
数字や式だけを見て分からないと言っているんじゃ、解き方を聞いても応用なんてできない。
この場限りで時間の無駄にしかならない。
何を示している式なのか分からない状態で解こうとすることに無理があるのです。
数式をいじり回せば身に付くと誰かに言われのかもしれませんが、そんなことしてもホント時間の無駄になるだけです。
（ひょっとするとライバルが質問者さんの時間を奪うための罠かもしれませんね）
そんななら他の得意と自称する（※）教科の勉強をしたほうがいい。

※ 得意と自称する科目が本当に得意なのかは別問題。

話がずれたので戻します。
まあ、グラフにできる問題は方眼紙にそのグラフが描ければ解けるという事です。
この手の問題を苦も無く解く人はこれを一瞬でイメージできるんです。
本当に自力で解けるようになりたいのでしたら、グラフを描けるようになりましょう。
これは努力次第で誰にでもできることです。
慣れれば頭の中でイメージできるようになります。（冗談でも気休めでもなくこれは本当ですよ）
がんばれ。