集積点についてです この本の定義だとaがAэan の集積点とはa≠anかつanの極限値になるa と考

集積点についてです

この本の定義だとaがAэan の集積点とはa≠anかつanの極限値になるa
と考えたのですが、そうすると集積点は一つしか鳴くなってしまいますがそうではないですよね？

他のもので見たところ集積点とはAэanの無限個のanがaのε近傍に属するとき
と合ったのですがこの本の定義とだいぶ違う気がするのですが本の解釈の仕方が悪いのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• こういうことでしょうか？
  点aに対しA⊃{an}、an≠aかつlim n→∞an=aとなるanが作れる（存在する）ときaが集合Aの集積点となる
  ということでしょうか？

    補足日時：2018/03/22 05:55

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/03/22 12:13

集積点の定義のしかたで一番シンプルなのは

aの任意の近傍にa以外のAの点が「存在」する。

で近傍をせばめつつ適当なAの点を選んで番号をつけ、
それをanとすれば、質問の定義になるでしょう。
証明してないけど、まあほぼ自明。

anの点の選び方やnの番号付は任意で良く、そういう
数列はいくらでもたくさん作って良いので、集積点がひとつということには
全然ならないです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
とても曖昧な言葉ですが集積点はAの回りに隣接する点というイメージでしょうか？

お礼日時：2018/03/22 12:23

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/03/22 12:57

>曖昧な言葉ですが集積点はAの回りに隣接する点というイメー

それも含まれてますが、Aの内点の場合も有ります。

この回答へのお礼

なるほど。その場合もありました
ありがとうございました。

お礼日時：2018/03/22 15:30

No.3 回答者： usa3usa 回答日時： 2018/03/22 14:06

>そうすると集積点は一つしか鳴くなってしまいますが

A = { a(2n)=1-1/n, a(2n+1) = 1/n } という集合を考えると、
添え字が偶数の場合は１が集積点、奇数のときは０が集積点になるので
Aに集積点は2つ存在しますね。

この回答へのお礼

点列は適当に作って良いのですね

お礼日時：2018/03/22 15:32

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2018/03/22 16:11

an≠aかつan→aということは、どの番号ｎについても、その番号より大きい番号ｍがあって

anよりもamのほうがaに近い、したがってこの点列の部分点列で互いに異なる点を動きながら
aに収束する点列があるということです。ということはaは第二の意味の集積点ということです。
また逆にaが第二の意味の集積点ならaのどの近傍にもAの点が無限個あるから
an≠aかつan→aとなるような点列∊Aを作れます。つまりaは第一の意味の集積点です。
なので第一、第二の定義いずれも同じものです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
納得いきました。

お礼日時：2018/03/22 23:58