助けてください！ 過渡現象の問題です。 t＜0で、スイッチを閉じ定常状態になっています。 そしてt=

助けてください！

過渡現象の問題です。

t＜0で、スイッチを閉じ定常状態になっています。
そしてt=0で、スイッチSを開きます。

このときのコンデンサCのI3(t)に関する回路方程式が立てられませんでした。

回路方程式を教えてください

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/04/09 23:56

抵抗は電流に比例した電圧降下、コイルは電流の「変化率」（微分値）に対する電圧降下、コンデンサーは電流の「積分値」に対する電圧降下が生じます。

I1 = I2 + I3
R1*I1 + L*dI1/dt + R2*I2 = E
R2*I2 = R3*I3 + (1/C)*∫I3dt

を解けばよいはずです。

この回答へのお礼

ありがとうございます

I3に関する微分方程式から、I3の式を求めてほしいです。

アンサーの三つ目の式についてですが、左辺をＲ2・Ｉ2としていいのか不安でした。

また、t=0 では I3=0 なのですが I3(t) を求めていく時にあちこちでつまづいてもとまらなかったのでお願いします

お礼日時：2018/04/10 00:20

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/04/10 06:13

まずSを閉じて定常状態の場合、

Lは短絡、Cは開放で良いので
i3=0、i1=i2 なので
VR={R2/(R1+R2)}E=コンデンサの充電電圧。

Sを開くともはやR1とLは無関係。
i2=-i3 で初期の電圧VRをR2とR3を負荷に放電するだけなので

i2=[1-e^{-(R2+R3)Ct}]{VR/(R2+R3)}=-i3

微分方程式をー応書くと

i2=-dQ/dt=-CdV/dt=Ⅴ/(R2+R3)、Q、Vはコンデンサの電荷、電圧
C(R2+R3)(1/Ⅴ)dV=dt、V(0)=VRから
V(t)=VR[1-e^{-(R2+R3)Ct}]

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/04/10 07:08

>C(R2+R3)(1/Ⅴ)dV=dt、V(0)=VRから

符号がおかしい

-C(R2+R3)(1/Ⅴ)dV=dt、V(0)=VRから

ですね.

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2018/04/10 10:41

No.1です。

＞I3に関する微分方程式から、I3の式を求めてほしいです。

時間とともにI1～I3 は変化しますから、適切に初期条件を設定しないといけません。
共通の微分方程式を再掲しておきます。

I1 = I2 + I3　　　①
R1*I1 + L*dI1/dt + R2*I2 = E　　②
R2*I2 = R3*I3 + (1/C)*∫I3dt　　③

(1) 初め S1 閉で定常状態になっていたとすると、 dI1/dt=0, I3 = 0（∫I3dt = Q で定数）ですから
①→　I1 = I2　　④
②→　R1*I1 + R2*I2 = E　　⑤
③→　R2*I2 = Q/C　　⑥
となります。
①を②に代入して
　I1 = I2 = E/(R1 + R2)
これを使って
　VR = R2*I2 = ER2/(R1 + R2)
また、⑥より
　Q = CER2/(R1 + R2)　　⑦

これが t=0 直前の状態です。画像で与えられた(4)の答でもあります。

(2) 次に、t=0 で S1 を開きます。そのときには、E=0, I1=0 ですから
①→　I2 = -I3　　⑧
③に①を代入して
③→　-R2*I3 = R3*I3 + (1/C)*∫I3dt　　⑩
となります。②は使いません。

コンデンサーの電圧を Vc とすると
　I3 = dQ/dt = C*dVc/dt
　-(R2 + R3)I3 = Vc
なので、⑩は
　Vc = -C(R2 + R3)*dVc/dt　　⑪
となります。「I3に関する微分方程式」ではなく、電圧に関する微分方程式になります。

これを解けば、変数分離できるので
　∫(1/Vc)dVc = -∫{ 1/[ C(R2 + R3) ] }dt
→　ln(Vc) = -t/[ C(R2 + R3) ] + K1　　　←K1 は積分定数
→　Vc(t) = e^{ -t/[ C(R2 + R3) ] + K1}
　　　　= K*e^{ -t/[ C(R2 + R3) ] }　　　←e^K1 = K

t=0 のとき⑦より
　Vc(0) = Q/C = ER2/(R1 + R2)
なので、
　K = ER2/(R1 + R2)

従って
　Vc(t) = [ ER2/(R1 + R2) ] * e^{ -t/[ C(R2 + R3) ] }

これを使って、
　I2 = Vc(t) / (R2 + R3) = { ER2/[ (R1 + R2)(R2 + R3) } * e^{ -t/[ C(R2 + R3) ] }
　VR = I2*R2 = { E(R2)^2 /[ (R1 + R2)(R2 + R3) ] }* e^{ -t/[ C(R2 + R3) ] }

この回答へのお礼

最後の方でI2を求める時にキャパシタ電圧Vcを(R2+R3)で割って求めたのは、
t=0からの回路は、「ER2/R2+R3の電圧をもつ電源(放電するコンデンサ)と、R2とR3が直列接続された回路」 と見ることができるから という解釈でいいですか？

それから、問題には I3(t) についての回路方程式を立てろ と書いてあるのですが、それに対する回答は式⑩でいいですかね

お礼日時：2018/04/10 11:01

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2018/04/10 12:27

No.4です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞最後の方でI2を求める時にキャパシタ電圧Vcを(R2+R3)で割って求めたのは、
＞t=0からの回路は、「ER2/R2+R3の電圧をもつ電源(放電するコンデンサ)と、R2とR3が直列接続された回路」 と見ることができるから という解釈でいいですか？

はい、そうです。
S が「開」となって回路を構成しませんから、考慮するのは「コンデンサ、R2, R3」だけの回路になります。

＞それから、問題には I3(t) についての回路方程式を立てろ と書いてあるのですが、それに対する回答は式⑩でいいですかね

はい。I3(t) ということなら、そういうことになると思います。
その場合の「(1/C)*∫I3dt」は、正確には「充電状態からの放電」なので
　(1/C)*{ ∫[-∞→0]I3(T)dT - ∫[0→t]I3(T)dT }
　(1/C)*{ CER2/(R1 + R2) - ∫[0→t]I3(T)dT }
= ER2/(R1 + R2) - (1/C)*∫[0→t]I3(T)dT
になります。なので t=0 では
　(1/C)*∫[0→0]I3(T)dT = 0
であり、
　I3(0) = ER2/(R1 + R2)
になります。

No.1 の「お礼」に

＞また、t=0 では I3=0 なのですが

と書かれていますが、「 I3=0 」ではありません。
t=0 の直前では、VR = Vc = ER2/(R1 + R2) なので I3=0 ですが、S を開とした瞬間の t=0 には「 I3=0 」ではありません。

この回答へのお礼

t＜0ではI3=0 で、t=0で必ず連続になるとは限らないってことですか!?

お礼日時：2018/04/12 20:27

No.6 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/04/12 20:55

No.5です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞t＜0ではI3=0 で、t=0で必ず連続になるとは限らないってことですか!?

えっ？？

電流という意味では、t=0 に I3=0 → ER2/(R1 + R2) に「ステップ状に変化した」ということです。
これを「連続」と呼ぶか「不連続」と呼ぶかは定義次第ですが、数学的には
・連続だが微分不可能
というところでしょうか。

「ステップ状の変化」は、電気ではよく登場しますよ。スイッチ入り切りは皆そうです。