過渡現象についての問題です。ただし、e=Esinωtとする。 (1)スイッチがSが開いた状態で十分時

過渡現象についての問題です。ただし、e=Esinωtとする。

(1)スイッチがSが開いた状態で十分時間が経過し、回路は定常状態にあるとする。このときの電流iと電圧vLを求めよ。

(2)(1)のとき、時刻t=0でスイッチSを閉じた。その後tにおけるiとvLを求めよ。

EsinωtをEe^iωt として、計算して虚部をとることで求めているのですが、初期条件があり、分からないです。

写真までは解いてみました。ご教授お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/31 00:13

電気では、虚数単位は、電流と混乱するので、jを使う。

(1)
フェザー法で解けるが、過渡現象ということで
　(r+R)i+Li'=Eexp(jwt)
の特殊解を求めればよい。ラプラスは好かないので、微分演算
子法を使う。
　(r+R)i+DLi=Eexp(jwt) → i={1/(r+R+LD)}Eexp(jwt)
公式により
　i={1/(r+R+Ljw)}Eexp(jwt)
　　={1/√((r+R)²+(wL)²)}exp(-jθ)Eexp(jwt)
　　={1/√((r+R)²+(wL)²)}Eexp(j(wt-θ))

ここで
　1/(r+R+Ljw)={1/√((r+R)²+(wL)²)}exp(-jθ)　
　θ= tan⁻¹(wL/(r+R))
を使った。

虚部を取って
　i={E/√((r+R)²+(wL)²)}sin(wt-θ)・・・・①

(2)
　Ri+Li'=Eexp(jwt)
同様に特殊解は、
　i={E/√(R²+(wL)²)}sin(wt-θ)、θ= tan⁻¹(wL/R)・・・・②
斉次式の一般解はよく知られており(略)
　i=Aexp(-pt) , p=R/L・・・・・③
したがって、非斉次式の一般解は②③の和となり
　i=Aexp(-pt)+{E/√(R²+(wL)²)}sin(wt-θ)・・・・④

過渡現象のお約束、Lの電流は連続から、①のとき
　i(0)=-{E/√((r+R)²+(wL)²)}sin(θ)・・・・①のとき
　i(0)=A-{E/√(R²+(wL)²)}sin(θ)・・・・④のとき
→ A={E/√(R²+(wL)²)}sin(θ)-{E/√((r+R)²+(wL)²)}sin(θ)
　　=Esinθ{ 1/√(R²+(wL)²) - 1/√((r+R)²+(wL)²) }

したがって
　i=Esinθ{ 1/√(R²+(wL)²) - 1/√((r+R)²+(wL)²) }exp(-pt)
　　　　+{E/√(R²+(wL)²)}sin(wt-θ)
ここで
　p=R/L、θ= tan⁻¹(wL/(r+R))

また
　vL=Li'
　　=Esinθ{ 1/√(R²+(wL)²) - 1/√((r+R)²+(wL)²) }(-p)exp(-pt)
　　　　+{E/√(R²+(wL)²)}wcos(wt-θ)

　　=-(ER/L)sinθ{ 1/√(R²+(wL)²) - 1/√((r+R)²+(wL)²) }exp(-pt)
　　　　+{Ew/√(R²+(wL)²)}cos(wt-θ)