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No.2
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部分積分の公式は、∫f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-∫F(x)g'(x)dx(F(x): f(x)の積分、g'(x):g(x)の微分)です。
よって、f(x)=e^x, g(x)=sinxとすると、
∫f(x)g(x)dx
=∫(e^x)sinxdx
=(e^x)sinx-∫(e^x)cosxdx
=(e^x)sinx-((e^x)cosx-∫(e^x)(-sinx)dx)
=(e^x)sinx-((e^x)cosx+∫(e^x)sinxdx)
=(e^x)sinx-(e^x)cosx-∫(e^x)sinxdx
上記から、∫(e^x)sinxdx=(e^x)sinx-(e^x)cosx-∫(e^x)sinxdx
2∫(e^x)sinxdx=(e^x)sinx-(e^x)cosx+C'=(e^x)(sinx-cosx)+C'
∫(e^x)sinxdx=(e^x/2)(sinx-cosx)+C'/2=(e^x/2)(sinx-cosx)+C
(C, C':積分定数)
よって、∫(e^x)sinxdxの(不定)積分は、
∫(e^x)sinxdx=(e^x/2)(sinx-cosx)+C (C:積分定数)
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