六角形の辺の長さが等しく、向かい合う３つの辺が平行の場合、正六角形？

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質問者：shiritai
質問日時：2018/05/07 22:50
回答数：7件

立方体の切断で、切断面が六角形になる場合があります。
この場合、立方体のすべての面を使った六角形となり、立方体の
向かい合う面は平行なので、この六角形は向かう辺が平行の六角形
になると思います。（これを平行六辺形と呼ぶことにします）

そして、この六角形の辺の長さがすべて等しい時には、必ず正六角形に
なりますでしょうか。
つまり、平行六辺形のすべての辺の長さが等しい場合は正六角形になるか？
ということです。
（すべての辺の長さが等しいからといって正六角形ではない場合もあると
　思います）

空間図形が苦手です。よろしくお願いします。

質問文でも書いているとおり、辺の長さがすべて等しくても
正六角形とは限らないことはわかっています。

No.1の回答に寄せられた補足コメントです。補足日時：2018/05/08 02:56
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回答 (7件)

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No.7

回答者： Yahoochiebukuro
回答日時：2018/05/12 17:17

6つの角の大きさが同じでなければ、正六角形とは言えません。

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No.6

回答者： tekcycle
回答日時：2018/05/09 07:48

立方体の一面を、真正面から見てみましょう。

縦をｙ軸、横をｘ軸と見立てて、たぶん斜めのカットが入るんでしょうね。
(ｘ,ｙ)＝(ａ,０)から、ｘ軸に対してθの角度で右斜め上にカットラインが入るとしましょう。
立方体の一辺の長さをＬとすると、このとき、カットラインの長さは、(Ｌ－ａ)／cosθ。

立方体を上からつまんで時計方向に90度回してみましょう。同じｘｙ座標を利用します。
左側にあるカットラインの始点は、(Ｌ－ａ)／sinθ。
そこから、(ｂ,Ｌ)に向けて、ｘ軸に対して角度φでカットラインが入る。
このカットラインの長さは、(Ｌ－ｂ)／cosφであり、{Ｌ－(Ｌ－ａ)／sinθ}／sinφでもある。
つまりｂはａ、θ、φで表すことができる。

ここで、立方体をカットする平面の方程式を。
ｘ軸とθの角度にあるベクトルは、(cosθ,sinθ)と表すことができるでしょう。
このｘｙ平面の奥行きにｚ軸を考えると、(cosθ,sinθ,０)というベクトルになる。
上記φで表した直線、ベクトルは(その議論はｚｙ平面上の物に相当するため)、同様に、(０,sinφ,cosφ)となる。
外積はご存じでしょうか？
この両者の外積を取ると、両ベクトルで作られる平面に、垂直なベクトルが得られる。
そいつを使うと、平面の方程式のｘｙｚの傾き成分が得られる。
この平面が(ａ,０,０)、(Ｌ,Ｌ,ｂ)を通ることから、平面の方程式が得られるでしょう。たぶん。
これと、立方体の上面の交点を求めれば良いでしょう。

そうして六辺形の三辺の長さを計算する。後々面倒になるのであれば、六辺全部の長さを出す。

次に、六辺形の三辺のベクトルを計算し、その単位ベクトルの内積を取って、それが等しければ、六辺形の全角度が等しいことが判ります。(平行六辺形であることが前提)

長さが等しいという条件の時に、上記の内積が等しくなるのか。

面倒になってきたので、後は丸投げします。(笑)

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No.5

回答者： godgilloq
回答日時：2018/05/08 15:25

＞この六角形の辺の長さがすべて等しい時には、必ず正六角形になりますでしょうか。

立方体を平面で切り分ける時に
切断面が六角形になるのは６面全部を切る時で、
この時に切断線が６本でき、これに囲まれた多角形が「平行六辺形」になります。
（この時、元の立方体の辺６本切断します）

「平行六辺形」も無数にありますが、このうち六辺の長さが等しいのは、
切断面が立方体の６辺全部の中点を通るときだけ、だと思います。
中点からどちらにずれても六辺長は等しくはなりません。

一言で言えば「切断面が立方体の中心を通り対角線の１本（一例：CE）に垂直なとき、
切断面が正六角形になる」ということだと思います。

この時だけ３方向に対称、同時に裏表も対称で、
つまり平行六辺形の６辺長も等しく、中心角も等しいので。