上限下限

a,bは実数で1<b-a,A={x∈ℝ|a<x<b}とするとき
1全体集合ℤの部分集合A∩ℤの上限と下限
2全体集合ℚの部分集合A∩ℚの上限と下限
3全体集合ℝの部分集合A∩ℚの上限と下限
これらはどんな数になるのかおしえてください
順序はどれも通常の大小関係≦です

質問者からの補足コメント

• 

  回答ありがとうございます
  1は解決しました
  2はaとbが有理数なら正しいかどうか検討の余地がありそうですが、無理数なら全体集合の元じゃないですよね
  3はa=infA≦inf(A∩ℚ),sup(A∩ℚ)≦supA=bまでは理解できます
  2と3は途中の考えかたがよくわからないので説明していただけると助かります

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/05/16 06:07

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/05/15 00:13

上界と部分集合が収まっている順序集合が必要。

全部R?

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
書かれていることの意味がよくわかりません

お礼日時：2018/05/16 06:03

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/05/15 07:44

上界と部分集合→上界と下界と部分集合。

すんません。

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2018/05/15 07:45

AUZ＝A+Z－A∩Zから

１．A⊂ZとすればAUZの最小値はZ、最大値もZ
　Z≦A+Z－A∩Z≦Z⇒　ーA≦ーA∩Z≦ーA⇒　A≧A∩Z≧A⇒　A＝A∩Zで最大も最小もA
同様に
２．　A＝A∩Qで最大も最小もA
３．　A＝A∩Rで最大も最小もA
です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
ただ書かれていることの意味がまったくわかりません

お礼日時：2018/05/16 06:04

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2018/05/15 15:08

1.

1<b-aならa<x<bの中に整数があるからそのうちで１番大きいのが上限
1番小さいのが下限
2、3はbが上限、aが下限、

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/05/16 08:31

>書かれていることの意味がよくわかりません

上界の最小値が上限ですが
例えば1は上界がZの部分集合なのか、
Rの部分集合なのか気になるということです。
「全体」というのは、1では上界もZの部分集合
という意味で使ってます?

この回答へのお礼

上界は全体集合の元ですから、1では上界となりえる元は整数のみです

お礼日時：2018/05/16 21:43

No.6 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2018/05/16 15:20

2、3は集合としては同じものです。

つまりaより大きくｂより小さい有理数全体のことですよね。
この場合、
任意の実数のどんな近くにも有理数が存在するという定理（たとえば高木、解析概論P460）
があるので、この集合の、上限、下限がそれぞれｂ、aになるわけです。

2がもし有理数の範囲で上限下限を求めよというのであれば
a、ｂが無理数の場合それらは存在しない　となります。

この回答へのお礼

再度の回答ありがとうございます
できればことばよりも数式で説明してほしかったのですが、感じはつかめました
数式にして証明するのは自分でやってみます

お礼日時：2018/05/16 21:45