y＝－2x、y＝1/2xに接し、点（3,2）を通る円の方程式を求めよ。 解説お願いします！！

y＝－2x、y＝1/2xに接し、点（3,2）を通る円の方程式を求めよ。


解説お願いします！！

No.2 回答者： takoハ 回答日時： 2018/05/29 12:42

円の中心(a,b) 半径 r とすれば、

(xーa)^2+(yーb)^2=r^2 から
(3,2)を通るから
(3ーa)^2 +(2ーb)^2=r^2より
(xーa)^2+(yーb)^2=(3ーa)^2+(2ーb)^2

あとは、接するのだから、それぞれの直線の式から判別式=0から求めればよい！
もちろん 点と距離の式から半径=………でも良い！

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/05/29 12:29

この円の中心の座標をC（s,t)半径をｒとする。

この円は、y＝－2x(⇔2x+y=0)、y＝1/2x(⇔x-2y=0)に接することから
r=|2s+t|/√5
r=|s-2t|/√5・・・（点Cと直線の距離の公式を利用）
⇔5r²=(2s+t)²・・・①
5r²=(s-2t)²・・・②
また、点（3,2）を通ることから
r²=(s-3)²+(t-2)²・・・③　＜２点間（Cと（3,2））の距離の公式＞
①②から
3s²+8st-3t²=0
(3s-t)(s+3t)=0
t=3sまたはt=-s/3
t=y,s=xに置き換えて、これはCがy=3xまたはy=-x/3上の点であることを示す。
ただし、Cがy=-x/3上の点である場合、Cを中心とする円はy＝－2x、y＝1/2xに接し、点（3,2）を通ることはできない。
＜何故か⇒図を書いて確かめてください＞
⇒t=3s・・・④　(Cはy=3x上の点 )
④を①へ代入
5r²=(2s+3s)²=25s²
r²=5s²・・・⑤
④を③へ代入
r²=(s-3)²+(3s-2)²=10s²-18s+13…⑥
⑥を⑤へ代入
10s²-18s+13=5s²
⇔5s²-18s+13=0
(s-1)(5s-13)=0
よって
s=1、13/5
t=3、39/5
r²=5s²=5、169/5
従って求める円の方程式は
(x-1)²+(y-3)²=5
(x-13/5)²+(y-39/5)²=169/5

になると思います。
計算ミス等があったら訂正しておいてください。