数学の問題です。半径1の球に内接する直円錐の体積が最大になるとき、直円錐の高さはいくらか？という問題

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質問者：hongenesis
質問日時：2018/06/05 11:30
回答数：4件

数学の問題です。半径1の球に内接する直円錐の体積が最大になるとき、直円錐の高さはいくらか？という問題の解き方を教えてください。

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回答 (4件)

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No.4ベストアンサー

回答者： yhr2
回答日時：2018/06/06 11:45

まずは球の半径を R として一般化してみれば

AO = BO = CO = R

下図のように x をとれば、0<x<2R で
BD = CD = √[R^2 - (x - R)^2 ] = √[R^2 - x^2 + 2Rx - R^2 ] = √(2Rx - x^2)

三角形の面積なら
　S = (1/2) * BC * AD
　= (1/2) * 2√(2Rx - x^2) * x = √(2Rx - x^2) * x

ADの周りに回転させた「円錐」の体積なら
　V = (1/3) * πBD^2 * AD
　　= (1/3) * π(2Rx - x^2) * x
　　= (1/3) * π( -x^3 + 2Rx^2)

V が極値を持つのは dV/dx = 0 のときなので
　dV/dx = (1/3)π[ -3x^2 + 4Rx ] = (1/3)πx[ -3x + 4R ] = 0
より　x≠0　なので
　 -3x + 4R = 0
従って
　x = (4/3)R

R = 1 なら
x = 4/3

念のため、極大か極小かも調べれば
V'' = (1/3)π[ -6x + 4R ]
x = (4/3)R のとき
V''[(4/3)R] = (1/3)π[ -6(4/3)R + 4R ] = (1/3)π[ -4R ] < 0
なので V は極大になります。
この範囲では、極大が最大になります。