数学の問題です。半径1の球に内接する直円錐の体積が最大になるとき、直円錐の高さはいくらか？という問題

数学の問題です。半径1の球に内接する直円錐の体積が最大になるとき、直円錐の高さはいくらか？という問題の解き方を教えてください。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/06/05 11:52

「半径1の球に内接する直円錐の体積」を高さの関数で書いて, その体積が最大になるときの高さを求める.

この回答へのお礼

底面積を高さの関数で表すにはどうすればいいですか？

お礼日時：2018/06/05 11:56

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/06/05 12:40

図を描けばわかる.

No.3 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2018/06/05 12:59

半径１の円に内接する二等辺三角形の面積が最大になるときの、二等辺三角形の高さは解けますか？

考え方は同じです。
（面積は高さの二次式ですが、体積は三次式になりますが・・・）

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/06/06 11:45

まずは球の半径を R として一般化してみれば

AO = BO = CO = R

下図のように x をとれば、0<x<2R で
BD = CD = √[R^2 - (x - R)^2 ] = √[R^2 - x^2 + 2Rx - R^2 ] = √(2Rx - x^2)

三角形の面積なら
　S = (1/2) * BC * AD
　= (1/2) * 2√(2Rx - x^2) * x = √(2Rx - x^2) * x

ADの周りに回転させた「円錐」の体積なら
　V = (1/3) * πBD^2 * AD
　　= (1/3) * π(2Rx - x^2) * x
　　= (1/3) * π( -x^3 + 2Rx^2)

V が極値を持つのは dV/dx = 0 のときなので
　dV/dx = (1/3)π[ -3x^2 + 4Rx ] = (1/3)πx[ -3x + 4R ] = 0
より　x≠0　なので
　 -3x + 4R = 0
従って
　x = (4/3)R

R = 1 なら
x = 4/3

念のため、極大か極小かも調べれば
V'' = (1/3)π[ -6x + 4R ]
x = (4/3)R のとき
V''[(4/3)R] = (1/3)π[ -6(4/3)R + 4R ] = (1/3)π[ -4R ] < 0
なので V は極大になります。
この範囲では、極大が最大になります。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2018/06/06 17:33