数列

Σ(n,k=1) 1/〔k(k＋2)〕
の問題の解き方で

なぜ1/〔k(k＋2)〕=1/2((1/k) - 1/(k＋2))
となるのですか？

そして、計算するとはじめの分母と小さな２項が残り、最後の分母の大きな２項が残るのですか？


別の問題で
Σ(n,K=1) 1/〔k(k＋1)〕はなぜ、最初と最後の項だけが残るのですか？

おしえてください

No.2 ベストアンサー 回答者： StarkerRegan 回答日時： 2004/10/24 11:02

1/k(k＋2) のように、分母が掛け算の形になっている分数を特に部分分数と言います。

数列の場合、このままでは和を求められないので、和の形になおします。
　　1/〔k(k＋2)〕=1/2((1/k) - 1/(k＋2))
普通、上のように分母の小さい方から、大きい方を引く形にします。1/2を掛ける理由は　1/k - 1/(k＋2)　を通分したときに、分子が元の形と違い２になってしまうからです。通分してみて確認してください。

分けられたら、ｋに、1,2,…,n　と順に入れてきます。
括弧の中だけ示しますと

k=1　1/1 　　 - 1/3
k=2 　　　　 1/2 　　 -1/4
k=3　　　　　　　　1/3 　　 -1/5
k=4　　　　　　　　 　　1/4 　　 -1/6
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　……

k=n-2,,,1/(n-2),,,,,,,,,,,-1/n
k=n-1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1/(n-1),,,,,,-1/n+2 　
k=n,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1/n ,,,,,,,,,-1/n+3

となります。これらを全て足すわけですが、上を見るとわかるように、　-1/(k+2) は、k=1からk=n-2までけされます。ですから残るのは　　1/1　　1/2　-1/n+2　　-1/n+3　の四項になります。(カンマはうまくずれてくれないので入れてだけですので気にしないで下さい)

下の別の問題も同様ですか、書きならべてやってみて下さい

No.1 回答者： kis 回答日時： 2004/10/24 10:58

ここにあるページに部分分数分解についての解説がされてあるので参考にしてみてください。

詳しく書かれています。

参考URL：http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/safrc101. …