平成30年、島根県立大学の数学入試で出題ミスとなった問題

次のサイトに正誤表があり、「第１問（１）の問題文において誤りがあった結果、矛盾が生じ、成立しない問題となってしまいました。」とコメントがありました。

http://hamada.u-shimane.ac.jp/admission/0006.dat …

しかし、次の「正」とされる問題文でも、僕には答えが求められません。
どうか教えていただけないでしょうか。

関数f(x)が、任意の実数tに対して，
f(t)+2f(1-t)-f(t+1)=8、f(t)+3f(1-t)-2f(t+1)=15
を満たすとき、
f(2/2018)+f(4/2018)+f(6/2018)+…+f(2016/2018)
を求めなさい。

No.10 回答者： usa3usa 回答日時： 2018/06/15 06:04

半分冗談ですが、「出題ミス」を無くす方法思いつきました、

「関数f(x)が、任意の実数tに対して，
f(t)+2f(1-t)-f(t+1)=8、f(t)+3f(1-t)-2f(t+1)=15
を満たすとき、
f(2/2018)+f(4/2018)+f(6/2018)+…+f(2016/2018)
を求めなさい。あるいは、求められない場合、理由を述べなさい」

のように、すべての問題の末尾に、
「あるいは、求められない場合、理由を述べなさい」
をつけた問題を出題します。
こうすれば、出題ミスは防げると思います。

No.9 回答者： uyama33 回答日時： 2018/06/13 17:24

島根県立大学に電話をしました。

これが大学の数学のレベルかと思うと悲しくて涙がでる。

この教えてグーの数学のところに
ごめんなさい間違えましたと書き込んでくれ。

と言っておきました。

早めに対応するとは言っていました。

誠実な回答を期待しています。

No.8 回答者： Dendrocacalia 回答日時： 2018/06/13 13:28

これは多価関数を1価関数のように扱うということではないでしょうか。

ご質問者は子供（高校生・受験生）なのか大人なのか不明ですが、大人なら相手の立場を想像してもみてください。この場合の相手とは、出題者たる大学教師です。
大学の先生は、入試問題作成の係を命じられると、大学の教養課程などで扱っている問題から、高校生でも解けるようにアレンジして出題することがあるそうです。なぜなら、高校の問題をよく知らなくて（忘れてしまっている）、よく知ってることでそれに近いと言えば教養課程レベルの問題だからです。
余談ですが、高校の教科書の執筆者についても、大学の先生の名がずらりと並び、そのあとに高校の先生が少し加わっているので、「これらの高校教師は補助的な役割か」と思ってしまいますが、むしろ高校教師のほうが多く執筆していているとも言われます。大学の先生で高校の学習内容を熟知している人は少ないということです。

ご質問の入試問題において、関数f(x)の正体は不明です。仮に正体が多価関数で高校の学習範囲を超えているとしても、特定の数値計算が高校の知識で解決できる場合、それを出題するなら、範囲逸脱ではありません。
ご質問文の「任意の実数tに対して」、「を満たす」にはさまれた2つの式も、この関数の定義を示すというより、性質の一部たる「周期性」を表わすものと考えられます。そのように考えれば、ご質問者が同値関係（⇔）にこだわる意味もなくなってきます。正体不明のまま一部の性質（周期性）を利用するだけで、うまく解ける問題なのです。すなわち、すでに良回答がある通り、f(t+1)を消すといことです。

ご参考までに、この入試問題と直接の関係はありませんが、下記のサイトなどもご覧ください。

数学Tips ～分岐点とリーマン面～
（著者は京大大学院修士修了でシャープ株式会社の幹部エンジニアだったという）
http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/Riemann.pdf
〔引用開始〕
関数w = f(z) において，z の1 つの値に対し複数個のw の値が存在する場合，w をz の多価関数とよぶ。
〔引用終り〕

この回答へのお礼

ありがとうございます。
僕は大人です。リーマン面もしっています。
しかし、多価関数までもちだされるとは、正直、意味不明です。

多価関数だと、f(2/2018)の値も複数で、

f(2/2018)+f(4/2018)+f(6/2018)+…+f(2016/2018)
を求めなさい。

という問題文は通常の意味をもたないです。そもそも問題文の1行目で、

関数f(x)

と書いてあるのは、通常は1価関数です。

お礼日時：2018/06/13 14:28

No.7 回答者： uyama33 回答日時： 2018/06/13 12:29

関数f(x)が、任意の実数tに対して，

f(t)+2f(1-t)-f(t+1)=8、f(t)+3f(1-t)-2f(t+1)=15
を満たすとき、
f(2/2018)+f(4/2018)+f(6/2018)+…+f(2016/2018)
を求めなさい。

をそのまま解くならば、

条件より、８＝15となり
両辺から8を引いて
0＝7
7で割って
0＝1
任意の複素数τをかけて
0＝τ
よって
f(2/2018)+f(4/2018)+f(6/2018)+…+f(2016/2018)
の値をτ
としたとき、
τ＝０より
f(2/2018)+f(4/2018)+f(6/2018)+…+f(2016/2018)＝０

でも正解となる。
もちろん、好きな値になるように証明できる。
仮定が間違っている場合は、どんな結論でも、命題全体としては正しくなる。

出題者が間違えてはいけません。

No.6 回答者： xs200 回答日時： 2018/06/13 10:26

たしかに「任意の実数tに対して」とありますが、与式に

t=0

の項がないのになぜ代入するの? 問題文は不備ですがこういう問題が出たら問題作成者の意図通りに答えればいいと思っています。どうせ、あとで正解になるわけだし悩んで時間つかってもむだです。受験ですよ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
僕は大人で、生徒に、問題解説をする立場です。

xs200さんのようなご意見を生徒にするような大人は、正直、理解に苦しみます。

お礼日時：2018/06/13 14:31

No.5 回答者： uyama33 回答日時： 2018/06/13 08:09

関数f(x)が、任意の実数tに対して，

f(t)+f(1-t)=１
を満たすとき

ですが、
y=f(x)のグラフが
点（1/2,1/2）に関して点対象になれば、
f(t)+f(1-t)=１
が成立します。
逆も言えるかな？

理由
グラフが点（1/2,1/2）を通るので
f(1/2)＝1/2
このとき
f(1/2)+f(1-1/2)=1
となる。

さらに、グラフが点（1/2,1/2）に関して点対象ならば
f(t)=f(1/2-(1/2-t)）=f(1/2)-k
f(1-t)=f(1/2+(1/2-t))=f(1/2)+k
と書けて
f(t)+f(1-t)=１
が成立

したがって、
ｆ（ｘ）＝ｘ
だけではなくて、
f(x)=(x-1/2)^3+1/2
などでも大丈夫ですね。
他にも沢山ありますね。

失礼しました。

とりあえず、
大学にはメールか電話で連絡してあげたらいかがでしょうか？
間違いを掲載しているは、自慢になりませんからね。

問題の修正案としては
y=f(x)のグラフが点（1/2,1/2）に関して点対象であるとき、
f(2/2018)+f(4/2018)+f(6/2018)+…+f(2016/2018)
を求めなさい。

でしょうか。

回答は
グラフが点（1/2,1/2）を通るので
f(1/2)＝1/2
さらに、グラフが点（1/2,1/2）に関して点対象なので
f(t)=f(1/2-(1/2-t)）=f(1/2)-k
f(1-t)=f(1/2+(1/2-t))=f(1/2)+k
と書けて
f(t)+f(1-t)=１
となり、、、、

以下省略

この回答へのお礼

ありがとうございます。

f(t)+2f(1-t)-f(t+1)=8、f(t)+3f(1-t)-2f(t+1)=15
⇔
f(1-t)=-f(t)+1…①、f(t+1)=-f(t)-6…②

f(1-t)=-f(t)+1より，t≧1/2でのf(t)の値がわかれば、t=1/2に関して折り返した範囲の値もわかります。
f(t+1)=-f(t)-6より、0≦t<1でのf(t)の値がわかれば、区間を1だけずらした区間での値もわかります。

しかし、この定義はwell-difindではありません。
例えば、f(2/2018)=aとして、f(2020/2018)を求めるのに、
「1だけずらす」と、②にt=2/2018を代入して、f(2020/2018)=-f(2/2018)-6=-a-6

また、「t=1/2に関して折り返す」「1だけずらす」「t=1/2に関して折り返す」と、
①にt=2/2018を代入して、f(2016/2018)=-f(2/2018)+1=-a+1
②にt=-2/2018を代入して、f(2016/2018)=-f(-2/2018)-6　　　　
　　　　　　　　　　　　　　f(-2/2018)=-f(2016/2018)-6=-(-a+1)-6=a-7
①にt=2020/2018を代入して、f(-2/2018)=-f(2020/2018)+1
f(2020/2018)=-f(-2/2018)+1=-(a-7)+1=-a+8

のように、f(2020/2018)の値が-a-6と-a+8になるからです。

お礼日時：2018/06/13 14:19

No.4 回答者： uyama33 回答日時： 2018/06/13 00:09

関数f(x)が、任意の実数tに対して，

f(t)+2f(1-t)-f(t+1)=8、f(t)+3f(1-t)-2f(t+1)=15
を満たすとき

とあるので、そのような関数が存在することが前提になるが、
Ｎｏ１　の回答のように
このような条件を満たす関数は存在しない。
存在するならば、8＝15となる。

もし、修正するならば
関数f(x)が、任意の実数tに対して，
f(t)+f(1-t)=１
を満たすとき

とするべきです。
これなら存在して
ｆ（ｘ）＝ｘ

この回答へのお礼

ありがとうございます。
関数f(x)が、任意の実数tに対して，
f(t)+f(1-t)=１
を満たすとき、
ｆ（ｘ）＝ｘ

というのが実は理解できません。

島根県立大学の数学入試で出題ミスの正誤表にもミスがあるとすれば、どういった対応をすればよいでしょうか?
多くの受験業界と過去問対策受験生が困ると思うのですが。

お礼日時：2018/06/13 00:18

No.3 回答者： xs200 回答日時： 2018/06/12 23:41

t+1は2/2018+1=2020/2018, 2016/2018+1=4034/2018

と与式に表れない数字なのでじゃまなのです。ですから(1)式と(2)式からf(t+1)の項を消しています。

x+y=2かつ2x+y=3のときにyを消したいときはどうしますか?

この回答へのお礼

ありがとうございます。
問題文の式、f(t)+2f(1-t)-f(t+1)=8、f(t)+3f(1-t)-2f(t+1)=15
にt=0を代入してみると、
f(0)+f(1)=8, かつ、f(0)+f(1)=15

このような問題不備に対して、
f(2/2018)+f(4/2018)+f(6/2018)+…+f(2016/2018)
の値を導き出すこと自体がナンセンス(値を求めた人は、問題文不備に気づいていないおっちょこちょい)、ということはないのでしょうか？

お礼日時：2018/06/13 00:14

No.2 回答者： xs200 回答日時： 2018/06/12 20:54

f(t)+2f(1-t)-f(t+1)=8…(1)

f(t)+3f(1-t)-2f(t+1)=15…(2)
どう見てもf(t+1)がじゃま
(1)を2倍
2f(t)+4f(1-t)-2f(t+1)=16…(3)
f(t)+3f(1-t)-2f(t+1)=15…(2)
(3)-(2)
f(t)+f(1-t)=1
t=2/2018なら
f(2/2018)+f(2016/2018)=1

もう解けるでしょ

この回答へのお礼

(3)かつ(2)⇔(3)-(2)

ではないのに、なぜ、(3)-(2)だけを考えるのでしょうか？

お礼日時：2018/06/12 22:39

No.1 回答者： diff3356 回答日時： 2018/06/12 20:03

第一式、第二式にt=0を代入してみると、

f(0)+f(1)=8, かつ、15.
という矛盾が生じますが。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
島根県立大学の数学入試で出題ミスの正誤表にもミスがあるとすれば、どういった対応をすればよいでしょうか?
多くの受験業界と過去問対策受験生が困ると思うのですが。

お礼日時：2018/06/13 00:19