これの解き方を教えてください f(x)=x^2-x+1,g(x)=x^4+ax^2+bがあり、 g(

これの解き方を教えてください

f(x)=x^2-x+1,g(x)=x^4+ax^2+bがあり、
g(x)はf(x)で割り切れる。
a,bの値を求めよ。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/03/25 20:00

どんくさくやれば、最高次数から、p, q, r を実数として

　g(x) = (px^2 + qx + r)f(x)
ということなので、f(x), g(x) をきちんと書いて展開すれば
　x^4 + ax^2 + b = (px^2 + qx + r)(x^2 - x + 1)
　　　　　　　　= px^4 + (q - p)x^3 + (p - q + r)x^2 + (q - r)x + r　　

これが恒等的に成り立つためには
　p = 1　　　　　①
　q - p = 0　　　②
　p - q + r = a　　　③
　q - r = 0　　　④
　r = b　　　　　⑤

この連立方程式を解けば
①を②に代入して q=1
これを④に代入して r=1
従って、
③⑤より
　a = 1, b = 1

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2021/03/25 21:06

4次式が 2次式で割り切れるならば、商は 2次式。

被除式の x⁴ と 除式の x² の係数が 1 ですから
商の式の x² の係数も 1。商の定数項は b 。
つまり 商は x²+nx+b と 表すことが出来ます。
従って、x⁴+ax²+b=(x²-x+1)(x²+nx+b) となる筈。
展開して、係数を比較すれば 求められる。
ココでは n の値は 必要ありませんので、
n= の式を作って 他の2つに代入すれば、
a, b が 求められます。
この問題に限っては 組み立て除法より
楽かもしれませんね。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/03/25 18:45

https://manabitimes.jp/math/916

a=b=1