1/(1+cosh(z))の留数は何でしょうか。 極は cosh(z)=cos(-iz)=-1 より

1/(1+cosh(z))の留数は何でしょうか。
極は
cosh(z)=cos(-iz)=-1
より、z=i(2n+1)πとわかりますが、何位の極でしょうか。

仮に、一位の極だと仮定して、n=0のときの留数を計算すると、
lim [z→iπ] (z-iπ)/(1+cosh(z))=lim [z→iπ] 1/sinh(z)=∞
となってしまいます。上式ではロピタルの定理を用いました。

(ほかの方法を用いても無限大となることはわかります。例えば、z'=(z－iπ)/iと変数変換した後、式変形すると、lim [z'→0] i(z'/sin^2(z))*(1+cos(z))となるので、無限大となることことがわかります。）

たとえ何位の極であろうとも、同様の方法で無限大になってしまいます。何時間も考えていますが、どこが間違えているのかわかりません。

1/(1+cosh(z))の留数を教えて下さい。お願い致します。

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/06/23 08:25

pythonにやらせました(^-^; z =±iπの場合。

級数展開の時点で、留数は2次、
-1次の項が無いので、留数は0であることがわかります。
z=±3π、±5πでも同様だったので、恐らく全部同じでしょう。
厳密には
(z±(2n+1)iπ)^2/(1+coshz)
を頑張ってテーラー展開してみて下さい(^-^;

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2018/06/23 08:01

これは2位の極ですね。

2位の極であれば
g(z)=(z-i(2n+1)π)^2*1/(1+cosh(z))
とおくと
Res(1/(1+cosh(z)),z=i(2n+1)π)=g'(i(2n+1)π)
となります。
(求める留数は1/(1+cosh(z))をz=i(2n+1)πの周りでローラン展開したものの1/(z-i(2n+1)π)の係数となりますが、これはg(z)をz=i(2n+1)πの周りでテーラー展開したものの(z-i(2n+1)π)の係数となります。)

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/06/22 23:55

2位っぽいんだけど, 気のせいかなぁ?