数学図形の問題

三角形ABCは円Oに内接し、点Cにおける円Oの接線と線分ABの延長の交点をDとする。また、直線CD上に、点Cに関して点Dと反対側の適当な位置に点Eをとる。
△ACB=△ACE，線分ABおよび線分BDの長さがともに2であるとき、DC＝□‪√‬□、BC＝‪√‬□、AC＝□を求めよ
お願いします

質問者からの補足コメント

• いえ、自分なりに解いた上で質問しています。
  図は問題文に書いてありました。
  私が解いたらDC＝2‪√‬2、BC＝‪√‬2、AC＝2になったのですが答えがなく皆さんがどう回答されるかを知りたかっただけです。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2025/03/03 09:29

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2025/03/03 14:51

No.2 です。

∠ACB = ∠ACE ですか。

雪原定理ならぬ「接弦定理」により、弦と接線のなす角は、その弦の円周角に等しいので
　∠ACE = ∠ABC
です。
従って、∠ACB = ∠ACE なら
　∠ACB = ∠ABC
となって、△ABC はBC を底辺とする「二等辺三角形」ということになります。
ということで、
　AB = AC　　　　①

同様に接弦定理より
　∠ACB = ∠BAC
であり、これと ∠ADC が共通であることから
　△ACD ∽ △CBD
であり、対応する辺の長さの比（相似比）は
　AC : CB = CD : BD = DA : DC
となります。
ここで
　DA = 4, BD = 2, AC = AB = 2
であることから
　2 : CB = CD : 2 = 4 : DC　　　　②

後ろ半分「CD : 2 = 4 : DC」を使えば
　CD^2 = 8
→　CD = 2√2

これを②に代入すれば
　2 : CB = 2√2 : 2 = 4 : 2√2　　　　③
よって
　BC = √2

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/03 13:51

点A と点B が、どっちがどっちか判らんがな...

と書こうと思ったら、∠ACB = ∠ACE で判るようになってんのね。
なるほど。やな書き方ではあるが。

雪原定理から ∠ACE = ∠ABC なので、
△ABC は二等辺三角形になって AC = AB = 2.

∠ACD = ∠CBD = 180° - ∠ACE になるから、
∠D 共通で二角相等より △ACD ∽ △CBD になる。
相似比を r とすると
BC = 2r,
2 = DC・r,
DC = 4r
となって 2 = 4r^2 より r = 1/√2.
よって、
BC = 2r = √2,
DC = 4r = 2√2.

今夜は雪になるそうな。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2025/03/03 11:50

No.1 です。

＞△ACB=△ACE

というのは問題文どおりですか？
それは「面積が等しい」ということですか？

ひょっとして
　△ACB ≡ △ACE　（合同）
ではありませんか？

この回答へのお礼

すみません記号が無かったので△にしていましたが角の話です。角ACB＝角ACEです

お礼日時：2025/03/03 13:09

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2025/03/03 09:24

何が、どこが分からなくて質問しているのですか？

単に、考えもせずに「丸投げ」ですか？
図は書けるのですか？

そもそも「問題文の日本語」が分かりますか？