体の定義

Question

線形代数の授業の板書で、ベクトル空間を定義する際に、体に関して、群、アーベル群の定義をした後、１枚目の画像のようにかかれました。
このあと、気になったので、代数学の教科書を買って読んだところ、群→環と定義が書かれた後、体が定義されました。（教科書序盤、画像２，３枚目、２枚目は環の定義）
板書の②に関して、Ｋ＾×がアーベル群であることは言っているのですが、これだけでは、積に関して、Ｋが環をなすという体の定義を満たしているかどうか不明です。
板書はあっているのでしょうか？

Tacosan · Accepted Answer

余計なことをいうと, 「古典的な体の定義」では乗法の可換性を要求しないことがあります. つまり, その写真の「体の定義」のところにある「可除環」を「体」と呼び, そのうち乗法に関しても可換なものを特に「可換体」と呼ぶ, という用法もありま (す|した).

Wikipedia でのタイトルを見ると, 言語によってさまざまだな～とか思ったりします.

fef · Answer

回答No.11への質問者さんからの補足コメントを読みました．
その理解でよいと思います．

fef · Answer

回答No.6でも述べましたが，
一般的な（←「古典的な」と言ったほうがよいかも）体の定義をそのまま読むと，
元が 1 個の場合も体となってしまいます．
ただそのような代数系を体と認めない流儀もあり，
むしろ最近はそちらが主流のような気もします．

つまり，板書の定義を回答No.4, 5, 9, 10のように訂正しておけば，
代数学の教科書などで一般的な体の定義と完全には一致しないが，
むしろ最近主流の体の定義に合致するようになる，ということです．

私としては，
　初学の段階では一般的な定義で学んでおいたほうが今後の学習がしやすくなってよい，
と思います．

majimelon37 · Answer

0・a=1という式は体にならない奇妙なもので、体にならない反例のために無理に作ったものです。普通は0・a=０となるので、体となる。0・a=０を保証するには分配法則を書けばよい。分配法則で(aーa)・a＝a^2ーa^2とすれば、両辺を計算すると0・a=０となるので、奇妙なことは起きない。
講義担当者は板書③に左分配法則すなわち「a(b+c)=ab+ac」を書いているから、右分配法則「(a+b)c)=ac+bc」も書けばよかったのだ。講義担当者は板書③に右分配法則も書いたつもりでいるので、質問者が聞いても、書いたつもりの返事をしている。
たとえ書かなかったとしても、分配法則を左だ右だと区別せずに、片方で代表しているつもりかも知れない。(片方だけでは、論理的には正しくないが)。右分配法則が質問者のノートに書いてあるのに、写真が悪いから私に見えないのかも知れない。また、質問者のノートに書いてなかったら、質問者が板書から写し落としたかも知れない。それを詮索しても誰も利益にならない。質問者さんは板書③に右分配法則「(a+b)c)=ac+bc」を追加しておけば、それで問題ない。

majimelon37 · Answer

左分配法則が成立すれば、a^2=a・(a+0)＝a^2+a・0からa・0=0
右分配法則が成立すれば、a^2=(a+0)・a＝a^2+0・aから0・a=0
板書の③は、左分配法則を書き右分配法則を忘れたか、省略したか、
あるいは板書の最後の行を、私が読み取れなかったかで、③を二つの分配法則が成立するように修正すれば、0・a=1の反例は作れなくなり、板書の定義で体が定義されるとするのが、質問者さんの最初の疑問を解決するのにもっとも適切ではないかと思う。

Tacosan · Answer

#5 に書いたけど「分配法則に反しない反例をつくることはできない」ですよ＞#7. ただ, 1枚目の写真では
体の定義
があってその後に
ベクトル空間の定義
が始まっているわけで, そうすると
写真の切れた部分にもう一方の分配法則が与えられている
というのは非常に不自然です.

もちろん「板書されていたが書き落としている」とか「板書はしていないけど実は口頭で説明されていた」という可能性を否定する根拠はありません.

majimelon37 · Answer

No.１の回答者の方の
(2)　集合 K の任意の元 a に対して
　　　a・0 = 0,　0・a = a,
というように定義しましょう．a＞
反例を作るために、この奇妙な定義をつくると、分配法則に反してしまうので、
分配法則に反しない反例をつくることはできないと思う。
0・a = a≠0
=(b－b)ａ＝ba－ba=0
しかし1枚目の写真の下の方が切れていて
(a+b)c=ac+bcの分配法則が成立するかどうか、はっきり見えないので、
結論が不明です。

fef · Answer

回答No.4への補足です．

「ただし，加法単位元と乗法単位元とが同じである場合は除きます．」

一般的な体の定義においてこれは
　K が1個の元のみを含む集合の場合
に当たり，この場合の代数系 (K, +, ・) も体とみなされるわけですが，
この代数系は板書の定義を満たしません．
②の K^* が空集合となってしまい，代数系 (K^*, ・) が群ではなくなるからです．

加法単位元と乗法単位元とが同じである場合を含めてしまうと，
回答No.4の最後に述べた
　「逆に...」
という主張が成立しなくなるわけですね．

板書を回答No.4やNo.5のように訂正したとしても，
結局，このように一般的な体の定義より狭い定義になってしまいます．
まあ何か意図があって板書のように定義しているのかもしれませんし，
一度，講義の担当者に質問したほうがよいように思います．

Tacosan · Answer

0 を含めて乗法が可換になればいいので, (2) をそのままにして (3) で左右の分配法則を与える手もあります.

fef · Answer

回答No.1に補足します．

要するに板書の定義の問題点は，
②において，K から 0 を除いた K^* に対してしか可換と言っていないことです．
これでは回答No.1のような反例が作れてしまうのです．

この問題点は，②を
　②-(1)
　　(K^*, ・) は群になる;
　②-(2)
　　演算“・”は K 上で可換である;（← K 全体で可換であることが重要）
という条件で置き換えれば解消されます．
このように書き換えれば，板書の定義は一般的な体の定義と同値になります．

実際に，
　上のように定義を書き換えると定義を満たす代数系 (K, +, ・) は体になる，
ということを示しましょう．

まず，③において b = c = 0 とした式から
　a・0 = 0
が導けます．（ご自身で導いてください．）
これと②-(2)より，
　a・0 = 0・a = 0
となりますね．
そして，この式を用いれば，
　「演算“・”が K 上で結合律を満たすこと」
　（すなわち，集合 K の元 a, b, c の少なくとも一つが 0 である場合にも a・(b・c) = (a・b)・c が成り立つこと）
および
　「代数系 (K^*, ・) 上の単位元 1 が代数系 (K, ・) 上でも単位元となっていること」
　（すなわち，1・0 = 0・1 = 0 も成り立つこと）
が示せます．（ご自身で導いてください．）
以上で一般的な体の定義のすべての条件を満たしましたから，
代数系 (K, +, ・) は確かに（一般的な意味での）体になっている，と言えるわけです．

逆に代数系 (K, +, ・) が一般的な意味での体であれば条件①，②-(1)，②-(2)，③を満たす，
というのは明らかですよね．
上のように板書を訂正すれば，板書の定義は一般的な体の定義と同値になるわけです．

体の定義

回答No.11への質問者さんからの補足コメントを読みました．

回答No.6でも述べましたが，

0・a=1という式は体にならない奇妙なもので、体にならない反例のために無理に作ったものです。

左分配法則が成立すれば、a^2=a・(a+0)＝a^2+a・0からa・0=0

#5 に書いたけど「分配法則に反しない反例をつくることはできない」ですよ＞#7. ただ, 1枚目の写真では

No.１の回答者の方の

回答No.4への補足です．

0 を含めて乗法が可換になればいいので, (2) をそのままにして (3) で左右の分配法則を与える手もあります.

回答No.1に補足します．

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