体の定義

線形代数の授業の板書で、ベクトル空間を定義する際に、体に関して、群、アーベル群の定義をした後、１枚目の画像のようにかかれました。
このあと、気になったので、代数学の教科書を買って読んだところ、群→環と定義が書かれた後、体が定義されました。（教科書序盤、画像２，３枚目、２枚目は環の定義）
板書の②に関して、Ｋ＾×がアーベル群であることは言っているのですが、これだけでは、積に関して、Ｋが環をなすという体の定義を満たしているかどうか不明です。
板書はあっているのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 環の定義

  
    補足日時：2018/06/24 00:38

• 体の定義

  
    補足日時：2018/06/24 00:39

• とりあえず講義の板書は、このままだと不十分であることは確かなのでしょうか？
  私の写し間違えかもしれません。初学者としてはどこがまずいのか判断しかねるのですが、この際、代数学の教科書に載っている体の定義でやっておけば安全でしょうか？
  代数学ではなく、線形代数の教科書で体の定義が載っていたのでそれを添付します。
  そして、それを参考に板書で、不十分と思われる部分を書き直すので、まずい点があったら教えてください。
  
  （講義の担当者にメールで聞いたことろ、板書は控えていないので判断しかねるが、一般的な代数学の教科書の体の定義と符合するはずとの回答をされました）

  
    補足日時：2018/06/26 01:40

• 板書の訂正①③に関してはそのままで、
  ②Ｋ＾×に関して、積の逆元の存在が言える。
  Ｋに関して、結合測、単位元の存在、可換性が言える。
  こういうまとめ方はどうでしょうか？
  （こうまとめるべきだなどあったら教えてください）

    補足日時：2018/06/26 01:44

• ありがとうございます。回答ＮＯ４，５，９，１０のようにすれば現在主流の体の定義となり、
  補足４枚目のようにすれば一般的、古典的な体の定義となるということですね？

  No.11の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/06/26 14:46

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/06/25 00:20

板書の 2 から「0 以外の K の要素」に対して乗法に関し可換であることはわかるけど, 0 がからんだ場合は適用できないから可換

性は保証できてないはず＞#2.

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/06/24 14:30

Ｋ*×がアーベル群であることは言っているのですが、＞

板書①でＫ,＋は可換群と言っている。単位元0がある。
板書②でＫ*,×は可換群と言っている。これは、単位元1があること、逆元があること、乗法の可換性を保証している。
板書③で分配法則もある。
ウィキペディアによれば、「体は、適当なアーベル群の公理と分配則を満たすような加法、減法、乗法、除法の概念を備えた代数的構造である。」としている。
単位元0と単位元1が異なるかどうかは不明。
もし、単位元0＝単位元1だと、要素0だけの体になる。単位元0 ≠単位元1なら別の体(有限体や有理数体や、実数体など)になる。
３枚目の体の定義によれば、何も不足していないと思う。
No.１の回答は、乗法の可換性について成立しないかのように書いているが、板書②で成立を保証している。

No.1 回答者： fef 回答日時： 2018/06/24 12:50

板書の定義はおかしいですね．

反例を示します．

集合 K を実数全体とし，
“＋”は実数に関する通常の加算，
“・”は
　(1)
　　集合 K の元でかつ 0 でないもの a, b に対して a・b は実数に関する通常の乗算，
　(2)
　　集合 K の任意の元 a に対して
　　　a・0 = 0,　0・a = a,
というように定義しましょう．
すると，代数系 (K, ＋, ・) は条件①，②，③を満たしますね．
（条件③を満たすことの証明は少し面倒ですが，
　a = 0 の場合はどうなるかなどというように地道に場合分けすれば示せます．）
しかし，例えば
　1・0 = 0,　0・1 = 1
より
　1・0 ≠ 0・1
となって，代数系 (K, ＋, ・) は乗算“・”に対して可換ではなくなります．
すなわち，代数系 (K, ＋, ・) は体ではないわけです．

条件①，②，③を満たすからと言って，一般的な意味での体にはなりませんね．