易しい双曲線 対比

v63 ** ** ** ** さん

2017/9/214 : 13 : 39
[17 京都府大] x, y を自然数とするとき、2 x^2 + xy - 5 x - y^2 + y - 30 = 0
であるような組 (x, y) をすべて求めよ。
ベストアンサーに選ばれた回答
cet ** ** ** ** さん
.2017/9/214 : 49 : 12
.2 x^2 + (y - 5) x - y^2 + y - 30 = 0

(1 次式)*(1 次式) = 整数
と変形することを期待して

2 x^2 + (2 (y + a) + (-y + b)) x + (y + a) (-y + b) ＝０
2 x^2 + (y + 2 a + b) x - y^2 + (-a + b) y + ab = 0
とおいて係数を比較し
2 a + b = -5, -a + b = 1
a = -2, b = -1
よって
2 x^2 + (2 (y - 2) + (-y - 1)) x + (y - 2) (-y - 1) - 32 ＝０
(x + y - 2) (2 x - y - 1) = 32
(x + y - 2, 2 x - y - 1) = (1, 32), (2, 16), (4, 8), (8, 4), (16, 2), (32, 1)
(x, y) = (7, 11), (5, 1), (5, 5), (12, 22)
------------------------上の質疑応答に邂逅しました------------------

2元2次不定方程式
x^2-20 x y-4 y^2-8 y=0　の整数解を求める問題
を　[17 京都府大]と 同様な　==双曲線上の格子点==　ですので
(1) 漸近線達を先ず求め,
(2) それを利用し　格子点達を求める発想を
お願い致します;

No.1 回答者： afilter 回答日時： 2018/06/30 11:22

x^2-20 x y-4 y^2-8 y+K=K

上式を　(１次式)ｘ(１次式)＝定数　となるように、Kを定めると、K=-2/13
となり、
(x-20y+2√26 (y+1/26))( x-20y-2√26 (y+1/26))=-2/13
となります。上式は、無理数x無理数＝有理数　となっていますから、[17 京都府大]の問題のような解法は使えません。

答えは、(x,y)=(0,0) (0,-2)